Понятие о зональной системе плоских прямоугольных координат

Как отмечено в лекции № 2, плоские прямоугольные координаты существенно

упрощают математическую обработку результатов измерений, выполненных на

земной поверхности. Но при этом необходимо проецировать измеренные величины

и геометрические элементы с поверхности эллипсоида на плоскость, что ведет к

неизбежным искажениям их формы и размеров. Понятно, что величины искажений

напрямую зависят от размеров территорий, на которых выполнены измерения. Для

ограничения искажений до пренебрежимо малых величин прямоугольные коорди-

наты используют на территориях соответственно ограниченных размеров, а боль-

шие территории отображают на плоскости по частям – по зонам.

Для территории бывшего СССР государственная зональная система прямо-

угольных координат была создана с применением конформной проекции Гаусса-

Крюгера.

Теория конформного изображения одной поверхности на другой (в частности –

эллипсоида на плоскости) и его использования в геодезических целях была разра-

ботана в 1820 – 1830 г.г. Ф. Гауссом. Немецкий геодезист Л. Крюгер в 1910-1912

г.г. опубликовал применение этой теории в практике расчета плоских прямоуголь-

ных координат в геодезии. Поэтому система координат, полученных на основе тео-

рии конформных преобразований Гаусса называют системой координат Гаусса −

Крюгера. Эта система, принятая в России, странах СНГ и ряде других государст-

вах, отвечает следующим условиям:

· изображение поверхности эллипсоида на плоскости является конформным

(условие конформности – на бесконечно малых площадках в проекции со-

храняется подобие фигур, равенство углов и расстояний по всем направле-

ниям);

· осевой меридиан и экватор в плоскости проекции изображаются прямыми

линиями и пересекаются под прямым углом;

 

 

· масштаб изображения осевого меридиана на плоскости проекции постоянен

и равен единице;

· начало координат в плоскости проекции совпадает с точкой пересечения

осевого меридиана и экватора, которые и принимаются соответственно как

оси абсцисс и ординат.

Наглядность образования координатных зон в проекции Гаусса-Крюгера пояс-

няется рисунком 3.1. Представим себе эллиптический цилиндр, который касается

эллипсоида по меридиану, называемому осевым, и математическим путем спрое-

цируем на его поверхность фрагмент эллипсоида, заключенный между граничными

меридианами и, следовательно, вытянутый между полюсами (рис. 3.1, а). Разрезав

цилиндр вдоль образующей и развернув его поверхность в плоскость, получим

изображение зоны (рис. 3.1, б), на котором осевой меридиан и экватор окажутся

взаимно перпендикулярными. На основание такой схемы проекцию Гаусса-

Крюгенра относят к классу поперечно-цилиндрических картографических проек-

ций.

 

 

)

 

 

.

 

 

а

 

 

)

 

 

б

 

Рис. 3.1 Проецирование поверхности планеты на касательный цилиндр (а), раз-

вертка которого дает проекции зон (б)

 

Современные 6-градусныы зоны (рис. 3.2, а, б) образованы меридианами, про-

ходящими между полюсами земного эллипсоида. Зоны пронумерованы с 1-й по

60-ю от Гринвичского меридиана на восток. Каждая

сфероидическая

зона

ма-

тематически проецируется на плоскость (рис. 3.2, б, в). Изображения восточной

и западной частей зоны симметричны относительно осевого меридиана (см. рис.

3.2, г). В восточной части зоны ординаты положительны, в западной – отрицатель-

ны. Плоские прямоугольные координаты х и у точек проекции вычисляются по

геодезическим широте В и долготе L.

 

Рис. 3.2. Зональные плоские прямоугольные координаты:

а – 6-градусные зоны на референц-эллипсоиде; б – в проекции на плоскости; в – северная

часть зоны №3; г – изображение 6-градусной зоны эллипсоида на плоскости; д – геодезические

координаты точки К и элементы ее прямоугольных координат в проекции Гаусса-Крюгера (1 –

осевой меридиан (ось Х) с долготой L0 = 15º; М гр – граничный меридиан зоны; 2 – изображения

граничных меридианов зоны; 3 – изображения параллелей)

 

 

На рис. 3.2, д показан участок северо-восточной части зоны № 3. По рисунку

рассмотрим сущность искажений сфероидической поверхности при ее изображе-

нии на плоскости в данной проекции. Например, в проекции меридианы и парал-

лели изображаются плоскими кривым, которые пересекаются под прямыми углами,

при этом видно, что абсциссы точек параллели изменяются при удалении от осево-

го меридиана.

 

 

В примере рис. 3.2, д на плоскости в проекции Гаусса-Крюгера точка К нахо-

дится на пересечении изображений параллели широтой ВК и меридиана с долго-

той LК. Абсцисса и ординаты точки К вычисляются по ее геодезическим координа-

там ВК и LК, по формулам (3.1)

хк = хК,О + f 1(В; L);

ук = уК,О + f 2(В; L)–,

где хК,О – абсцисса параллели в точке КО пересечения с осевым меридианом;

f 1(В; L)– приращение абсциссы на кривизну изображения меридиана на его отрезке

l;

f 2(В; L) – линейная и нелинейная составляющие расчетной ординаты.

При проецировании элементов эллипсоида на плоскость проекции с учетом ус-

ловия конформности масштаб m изображения точек изменяется в зависимости от

ординаты у, т.е их удалений от осевого меридиана, согласно формуле

 

 2 R 2 24 R 4 +....

 

(3.2)

 

Таким образом, длины конечных отрезков при проецировании увеличиваются и

получают поправку, величину которой с необходимой для практических нужд точ-

ностью можно вычислить по следующей формуле:

 

ä S ПР = S × ä m ≈ S ×

 

y 2

2R 2

 

(3.3)

 

где äSПР – искажение длины линии, обусловленное проецированием эллипсоида на

плоскость; S – ее длина на эллипсоиде; y – среднее удаление ее концов от осевого

меридиана; R – средний по линии радиус кривизны эллипсоида.

На средней широте Беларуси (В ≈ 53º) ширина 6-градусной зоны равна │2у│≈

2×200 км. Для оценочного расчета искажений примем R = 6371 км, тогда при у =

200 км максимальное значение масштаба проекции на краю зоны

mу = 1 +

0,0004927 = 1 + 1/2030, а искажение линии на проекцию δ s = +S×0,0004927 =

+S×(1/2030). Такие искажения не учитывают при составлении топографических

карт масштабов 1:10 000 и мельче, но при крупномасштабных съемках поправки

δ d в длины линий величиной S(1/2000) необходимо учитывать.

Расчеты координат точек в проекции Гаусса-Крюгера для симметричной запад-

ной части зоны аналогичны, но здесь ординаты точек отрицательны. Для удобства

практического применения зональных координат применяют только положитель-

(3.1)

 y 2 y 4 

m = 1 + ä m ≈ 1 + 

+



 

,

.

 

 

ные преобразованные ординаты, для чего все значения у увеличивают на 500 км.

Перед преобразованной ординатой указывают номер зоны. Например запись уЕ =

3 415 270 м означает, что точка Е расположена в 3-й зоне к западу от ее осевого

меридиана, поскольку действительная зональная ордината (у Е)д = 415 270 –

500 000 = – 84 730 м.

На краях 6-градусной зоны относительные искажения линий до 1/2000 могут

быть недопустимыми для точных геодезических работ. В таких случаях применя-

ют 3-градусные координатные зоны (рис. 3.3), а при необходимости уменьшить

рассматриваемые искажения до пренебрегаемо малых значений на малых террито-

риях проекцию Гаусса-Крюгера используют с частным осевым меридианом, прохо-

дящим вблизи центра территории города или крупного предприятия, или же ис-

пользуют местную систему плоских прямоугольных координат без применения

картографической проекции (когда можно пренебречь кривизной Земли).

 

 

Рис. 3.3. Координатные зоны в

проекции Гаусса-Крюгера и долгота их

осевых меридианов (фрагмент)

 

Осевые меридианы 3-градусных зон совпадают с граничными и осевыми мери-

дианами шестиградусных зон (см. рис. 3.3).

Счет зон ведется на восток от Гринвича; долготы осевых меридианов 6-градусной

(L6) и 3-градусной (L3) зон вычисляются по их номерам (N6 или N 3), по следующим

формулам:

L 6 = 6° × N 6 − 3°, L 3 = 3° × N 3.

Координатные системы в каждой зоне устанавливаются одинаково.

 

 

Ориентирование линий

Ориентировать прямую линию – означает определить ее направление относи-

тельно направления, выбранного за начальное. Начальным принимают северное на-

правление географического меридиана, оси абсцисс или же направление магнитной

стрелки. Положение географического меридиана определяют астрономическими

наблюдениями или из вычислений. Направление оси абсцисс или линии ей парал-

лельной в 6-градусной зоне задано северным направлением осевого меридиана, а в

местной системе координат – северным направлением линии, принятой за ось абс-

цисс.

Склонение магнитной стрелки. Продольная ось свободно подвешенной маг-

нитной стрелки устанавливается по касательной к направлению силовой линии

магнитного поля Земли в данной точке. Вертикальная плоскость, проходящая через

эту ось, определяет направление магнитного меридиана Мm в данной точке (рис.

3.4). Магнитные меридианы не параллельны географическим меридианам вследст-

вие несовпадения магнитных полюсов Земли с ее географическими полюсами.

 

 

Рис. 3.4. Склонение магнитной стрелки:

а – западное; б – восточное; РР 1 – географический меридиан;

Мm - магнитный меридиан

 

Горизонтальный угол δ между плоскостями магнитного и географического ме-

ридианов в данной точке называется склонением магнитной стрелки. Склонение

северного конца магнитной стрелки к западу называется западным и учитывается

со знаком минус –δ (см. рис. 3.4, а), к востоку – восточным и положительным +δ

(см. рис. 3.4, б). Магнитная стрелка служит датчиком направления магнитного ме-

ридиана в геодезических угломерных приборах.

Сближение меридианов. Согласно определению, данному в лекции 2, гео-

графические (геодезические, астрономические) меридианы на поверхности земного

 

 

эллипсоида представлены плоскими кривыми, пересекающимися в полюсах (см.

рис. 3.2, а). Через точки Т и М, расположенные на одной параллели, проведем каса-

тельные к их меридианам. Касательные пересекаются в точке N под углом γ, кото-

рый называют сближением меридианов. На экваторе γ = 0 (меридианы взаимно па-

раллельны), в полюсе угол γ = LМ – LТ, т.е. разности долгот точек М и Т.

На плоскости координатной зоны в проекции Гаусса-Крюгера меридианы изо-

бражаются кривыми (см. рис. 3.2, в), а зональный угол γ сближения меридианов в

данной точке берется по отношению к изображению осевого меридиана (оси Х) или

линии ему параллельной, например углы +γ0, +γ1, +γ2 и +γ 3. Значения γ отрицатель-

ны в западной и положительны в восточной части зоны. Их значение, например,

для точки К (рис. 3.2, г), вычисляется по приближенной формуле

γк ≈ (L K – LO) sin ВК,

(3.4)

где LK и LO – долготы точки К и осевого меридиана; ВК – широта точки К.

Значения склонения магнитной стрелки и сближение меридианов даются на то-

пографической карте.

Углы ориентирования. Для ориентирования линий в геодезии применяют ази-

муты, дирекционные углы и румбы.

Азимутом называют горизонтальный угол, отсчитанный по ходу часовой

 

стрелки от северного направления меридиана данной точки до направления ориен-

тируемой линии в пределах 0 – 360°. От магнитного меридиана (северного направ-

ления магнитной стрелки) отсчитывают магнитные азимуты (азимут Аm линии КЕ

на рис. 3.4, б), от географического меридиана – географический (геодезический)

азимут (азимут А линии КЕ на рис. 3.4, б).

Согласно рис. 3.4, б данные азимуты связаны зависимостью

А = Аm + δ,

(3.5)

в которой склонение δ учитывается со своим знаком.

Из-за взаимной непараллельности изображенных на плоскости меридианов Х,

МК и МЕ (рис. 3.5, а) азимут протяженной прямой СЕ принимает различные значе-

ния АС, АК и АЕ в точках С, К и Е (в них различны углы сближения меридианов γ К

и γ Е). Например, в точке Е: АЕ = АС + γ Е. В средних широтах (45–60°) географиче-

ский азимут изменяется на 1' через каждые 1–2 км вдоль параллели. Это осложняет

ориентирование по азимутам.

 

 

Наиболее простое ориентирование линий осуществляется в системах плоских

прямоугольных координат посредством дирекционным угла.

 

 

Рис. 3.5. Углы ориентирования:

а – азимуты и дирекционный угол; б ‒ румбы и азимуты (A1,A2,A3,A4)

 

Дирекционным называют горизонтальный угол, отсчитанный в данной точ-

 

ке от северного направления линии, параллельной оси абсцисс, по ходу часовой

стрелки до направления ориентируемой линии в пределах 0–360°. Например, на

плоскости в проекции Гаусса-Крюгера дирекционный угол α линии СЕ (см. рис. 3.5,

а) отсчитывается в точке С относительно северного направления осевого меридиана

зоны, а в точках Н, К и Е – относительно линий х', параллельных оси Х. В местной

системе прямоугольных координат дирекционный угол отсчитывается относитель-

но северного направления частной оси абсцисс или линии ей параллельной. Дирек-

ционный угол сохраняет одно и то же значение в любой точке прямолинейного от-

резка СЕ (см. рис. 3.5, а).

Согласно рис. 3.5, а в точке С на осевом меридиане зоны в проекции Гаусса-

Крюгера географический азимут равен дирекционному углу, т.е. АС = α; в дру-

гих точках прямой СЕ азимут изменяется на величину сближения соответствующих

меридианов

А = α + γ,

(3.6)

где значение γ учитывается со знаком, принятым для восточной или западной части

зоны.

Приравняв правые части формул (3.5) и (3.6), найдем

 

 

α = Аm + δ – γ,

 

(3.7)

 

 

но результат вычислений по этой формуле получается приближенным вследствие

непостоянства (суточных, годовых, вековых изменений, кратковременных возму-

щений) магнитного поля Земли.

Различают прямые и обратные азимуты и дирекционные углы. Принимая пря-

мым направлением СЕ (см. рис.3.5, а), его прямой географический азимут АС от-

считывают в начальной точке С, обратный А'К – в точке К. Из рисунка следует, что

обратный географический азимут рассчитывают с учетом сближения меридианов

А'К = А С + 180° + γ К,

(3.8)

обратный дирекционный угол α' отличается от прямого угла α ровно на 180° и вы-

числяется по простой формуле

α' = α ± 180°.

(3.9)

Здесь знак (+) берется при α ≤ 180° и знак (–) при α > 180°.

Румбы. Горизонтальный острый угол, отсчитанный от ближайшего (северно-

 

го или южного) исходного направления до ориентируемого направления, называют

румбом (рис. 3.3, б). Румб изменяется в пределах от 0 до 90° с обозначением его

четверти по сторонам света, например r = ЮВ: 54° 25'.

В зависимости от исходного направления (магнитного, географического мери-

диана или оси абсцисс) различают магнитные, географические или дирекционные

румбы. Соотношения между соответствующими румбами и азимутами (дирекцион-

ными углами) приведены в таблице 3.1.

 

 

Таблица 3.1.