Результатов равноточных измерений

 

Вероятнейшее значение измеряемой величины. Предположим, что некото-

рая величина измерялась n раз, получены результаты l 1, l 2, …, ln, которые считают-

ся равноточными. Для них случайные погрешности находим по формуле (7.1):

Δ1 = l 1 – Х;

Δ2 = l 2 – Х;

……………….

Δ n = ln – Х;

Сложив почленно эти равенства, получим

n n

∑Δ i = ∑ l i – nХ,

 

i = 1, 2, …, n,

 

откуда

Х = (1/n)(∑ l i – ∑Δ i),

i = 1, 2, …, n.

Предел

 

 

Приняв во внимание свойство (7.3) случайных погрешностей приходим к

среднему арифметическому

 

 

n

Х ≈ L = (1/n)∑ l i,

 

i = 1, 2, …, n,

 

(7.7)

При n→ ∞ среднее арифметическое L из результатов равноточных измерений

стремится к истинному значению Х измеряемой величины. Но при ограниченном

числе измерений значение L не совпадает с истинной величиной Х. Поэтому сред-

нее арифметическое L называют эмпирическим вероятнейшим значением измеряе-

мой величины или арифметической серединой.

 

 

Стандарт, средняя квадратическая погрешность, среднее квадратическое

отклонение. Случайная погрешность может быть по величине малой или близкой

к предельной, положительной или отрицательной в пределах поля рассеивания, ха-

рактер которого показан на

рис. 7.1. Множество истинных погрешностей ∆ (при n

→ ∞) обобщается статистической величиной – стандартом m, вычисляемым по

формуле Гаусса

 

 

m =

 

n

∑Δ2 i / n,

 

 

i = 1, 2, …, n,

 

 

(7.8)

 

 

На практике истинные погрешности, как правило, неизвестны. При ограничен-

ном числе измерений (n ≤ 25-30) одной и той же величины формула Гаусса (7.8) не

применяется, взамен ее используют формулу Бесселя (7.9), по которой вычисляется

приближенная оценка стандарта – величина m, именуемая среднее квадратическое

отклонение (СКО)

 

 

m =

 

n

∑ δ 2 i / (n – 1),

 

 

i = 1, 2, …, n,

 

(7.9)

 

где δi – отклонение отдельных результатов li от среднего арифметического, т.е. δi

= li – L. Здесь L вычисляется по формуле (7.7). Правильность значений δ i проверя-

ют на условие

 

 

n

∑δ i = 0,

 

i = 1, 2, …, n.

 

 

(7.10)

 

 

Как видно из формул (7.8 – 7.9), в их знаменателе стоит число избыточных из-

мерений.

Для оценки погрешности вычисленного значения СКО подсчитывают mm – его

среднюю квадратическую погрешность по формуле

 

 

mm = m / √ n.

 

 

(7.11)

 

Пример 1. Получены 6 результатов равноточных измерений li: 1002,0; 999,0;

998,5; 1000,4; 1000,0; 999,8 мм. Требуется определить среднее арифметическое L и

дать статистическую оценку точности отдельных величин li.

Р е ш е н и е. Находим среднее арифметическое L = 999,95 мм, вычисляем от-

клонения от него результатов измерений δi = +2,05; –0,95; –1,45; +0,45; +0,05; –

0,15, проверяем их сумму Σδ i = 0, вычисляем

Σδ2 i = 7,345; (n – 1) = 5;

1,22 мм;

mm = 0,50 мм. Наиболее надежное (вероятнейшее) значение длины от-

резка L = 999,95 мм. Здесь средняя квадратическая погрешность отдельного изме-

ренного значения li характеризуется величиной m ≈ ±1,22 мм, при этом погреш-

ность оценочной величины m (т.е. СКО) составляет

mm ≈ ±0,50 мм.