Элементы кинематики вращательного движения. Угловая скорость и угловое ускорение их связь с линейными скоростями и ускорениями точек вращающегося тела.

Рассмотрим твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси. Тогда отдель­ные точки этого тела будут описывать окружности разных радиусов, центры которых лежат на оси вращения. Пусть некоторая точка движется по окружности радиуса R (рис. 6). Ее положение через промежуток времени D t зададим углом D . Элементар­ные (бесконечно малые) повороты можно рассматривать как векторы (они обозначают­ся или ). Модуль вектора равен углу поворота, а его направление совпадает с направлением поступательного движения острия винта, головка которого вращается в направлении движения точки по окружности, т.е. подчиняется правилу правого винта (рис.6). Векторы, направления которых связываются с направлением вращения, назы­ваются псевдовекторами или аксиальными векторами. Эти векторы не имеют опреде­ленных точек приложения: они могут откладываться из любой точки оси вращения.

Угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени:

Вектор направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, т.е. так же, как и вектор (рис.7). Размерность угловой скорости dim w =T– 1, а ее единица — ради­ан в секунду (рад/с).
Линейная скорость точки (см. рис. 6)


В векторном виде формулу для линейной скорости можно написать как векторное произведение:

При этом модуль векторного произведения, по определению, равен , а направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к R.
Если ( = const, то вращение равномерное и его можно характеризовать периодом вращения T — временем, за которое точка совершает один полный оборот, т.е. поворачивается на угол 2p. Так как промежутку времени D t = T соответствует = 2p, то = 2p/ T, откуда

Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности, в единицу времени называется частотой вращения:

Откуда

Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени:

При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении вектор сонаправлен вектору (рис.8), при замедлен­ном — противонаправлен ему (рис.9).

Тангенциальная составляющая ускорения

Нормальная составляющая ускорения

Таким образом, связь между линейными (длина пути s, пройденного точкой по дуге окружности радиуса R, линейная скорость v, тангенциальное ускорение , нормальное ускорение ) и угловыми величинами (угол поворота j, угловая скорость w, угловое ускорение e) выражается следующими формулами:

В случае равнопеременного движения точки по окружности (e=const)

где w0 — начальная угловая скорость

5. Динамика материальной точки и поступательного движения твёрдого тела. Сила. Закон инерции и инерциальные системы отсчета. Закон динамики материальной точки (2 и 3 законы Ньютона)

Динамика рассматривает закон движения тел и причины, вызывающие или изменяющие это движение. Изменение движения тел или изменение их формы происходит в результате взаимодействия по меньшей мере двух тел.

Силой называется физическая величина, характеризующая взаимодействие тел; она определяет изменение движения тела или изменение формы тела, или то и другое вместе.

Сила – величина векторная. Две силы, действующие на тело, складываются по правилу параллелограмма.

Первый закон Ньютона (закон инерции).

Всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока приложенные к телу силы не вызовут изменения его состояния.

Свойство тел сохранять величину и направление скорости, когда на него не действуют силы или действие сил скомпенсировано, называется инерцией (или инертностью).

Инерциальная система отсчёта, система отсчёта, в которой справедлив закон инерции. Всякая система отсчёта, движущаяся по отношению к ИСО поступательно, равномерно и прямолинейно, есть также ИСО. Следовательно, теоретически может существовать сколько угодно равноправных ИСО, обладающих тем важным свойством, что во всех таких системах законы физики одинаковы (так называемый принцип относительности). Помимо закона инерции, в любой ИСО справедливы также 2-й закон Ньютона и законы сохранения количества движения, момента количества движения и движения для замкнутых, т. е. не подверженных внешним воздействиям, систем.

Второй закон Ньютона.

Ускорение тела в результате действия на него силы F пропорционально величине этой силы и обратно пропорционально массе тела m. Направление силы совпадает с направлением ускорения:

В системе СИ за единицу силы принимают силу, которая телу массой в 1 кг сообщает ускорение 1 м/c2. Эту единицу называют ньютоном (Н)

Третий закон Ньютона.

Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю и противоположны по направлению.

Закон сохранения импульса и его применение при воздействии на систему материальных точек только внутренних сил; только внешних сил. Центр масс механической системы. Координаты центра масс и закон его движения.

Закон сохранения импульса и его применение.

Если сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то равно нулю и изменение импульса системы: . Это означает, что, какой бы интервал времени мы ни взяли, суммарный импульс в начале этого интервала и в его конце один и тот же: . Импульс системы остается неизменным, или, как говорят, сохраняется:
. (10)
Закон сохранения импульса формулируется так:
если сумма внешних сил, действующих на тела системы, равна нулю, то импульс системы сохраняется.
Тела могут только обмениваться импульсами, суммарное же значение импульса не изменяется. Надо только помнить, что сохраняется векторная сумма импульсов, а не сумма их модулей.
Как видно из проделанного нами вывода, закон сохранения импульса является следствием второго и третьего законов Ньютона. Система тел, на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой или изолированной. В замкнутой системе тел импульс сохраняется. Но область применения закона сохранения импульса шире: если даже на тела системы действуют внешние силы, но их сумма равна нулю, импульс системы все равно сохраняется.
Полученный результат легко обобщается на случай системы, содержащей произвольное число N тел:
. (11)
Здесь — скорости тел в начальный момент времени, а — в конечный. Так как импульс — величина векторная, то уравнение (11) представляет собой компактную запись трех уравнений для проекций импульса системы на координатные оси.

Центр масс механической системы. Координаты центра масс и закон его движения.

Центр масс- геометрическая точка, положение которой характеризует распределение масс в телеили механической системе. Координаты Ц. м. определяются формулами

,

или для тела при непрерывном распределении масс

где m_к — массы материальных точек, образующих систему, x_k, у_к, z_k — координаты этих точек, М =Σ m_к— масса системы, ρ — плотность, V — объём. Понятие о Ц. м. отличается от понятия о центре тяжести тем, что последнее имеет смысл только для твёрдого тела, находящегося в однородном полетяжести; понятие же о Ц. м. не связано ни с каким силовым полем и имеет смысл для любой механическойсистемы. Для твёрдого тела положения Ц. м. и центра тяжести совпадают.

При движении механической системы её Ц. м. движется так, как двигалась бы материальная точка,имеющая массу, равную массе системы, и находящаяся под действием всех внешних сил, приложенных ксистеме. Кроме того, некоторые уравнения движения механической системы (тела) по отношению к осям,имеющим начало в Ц. м. и движущимся вместе с Ц. м. поступательно, сохраняют тот же вид, что и длядвижения по отношению к инерциальной системе отсчёта.