Теория подобия. Моделирование процессов и аппаратов. Теоремы подобия. Методы и основные правила моделирования.

Имеются два основных метода исследования физических явлений и получения количественных взаимосвязей описывающих процесс - это аналитический метод и метод прямого эксперимента.

Первый метод основан на выводе дифференциальных уравнений математической физики и позволяет получить общие взаимосвязи между величинами, отражая целый класс явлений. Для конкретного явления, например для процесса нагревания масла в обжарочной печи, необходимо из множества возможных решений диф. уравнения теплообмена получить единственное, применимое для обжарочной печи. Это требует задания дополнительных условий, т.н. условий однозначности. В результате зачастую необходимо решить целую систему уравнений, но при этом оказывается, что современная математика еще не в состоянии получить решения, которые могут быть использованы в инженерной практике, а для отдельных случаев полная система уравнений даже не составлена (перемешивание).

Применение метода прямого эксперимента (эмпирического) позволяет получить достоверные результаты, описывающие лишь индивидуальные особенности изучаемого явления, применение которых для описания явлений отличных от изучаемого невозможно.

Т.О. ни один из двух методов в отдельности не может обеспечить решение задач, возникающих при проектировании новых процессов и аппаратов, поскольку первый не дает возможность применять полученные результаты при переходе от класса явлений к конкретным, а второй оказывается несостоятельным при распространении результатов эксперимента на подобные явления.

Объединение сильных сторон обоих методов составляет теорию подобия - учения о методах постановки и проведения экспериментов на промышленных установках и моделях, способах обработки результатов и представления их в виде расчетных формул.

Теория подобия основывается на создании модели изучаемого явления, выявлении основных факторов, влияющих на процесс и упрощающих его описание, исследования явления на упрощенной модели, представлении полученных результатов в виде расчетных формул и переносе их на натуральный объект. Для сопоставимости результатов модельных и натуральных явлений необходимо обеспечить их подобие.

Согласно положениям теории подобия два физических явления подобны друг другу если они протекают в геометрически подобных системах и если отношение одноименных величин в сходственные моменты времени во всех сходственных точках этих систем одинаковы. Для понимания подобия физических явлений необходимо сформулировать ряд терминов:

одноименные величины - величины, имеющие один и тот же физический смысл и одинаковую размерность;

сходственные точки системы - точки, отвечающие геометрическому подобию;

сходственные моменты времени - моменты, наступающие по истечению периодов времени, имеющих общее начало отсчета и связанных константой временного подобия (гомохорность):

^* = c

Предпосылкой физического подобия является геометрическое подобие явлений. В геометрии подобными называются фигуры, у которых сходственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны. У подобных фигур отношение сходственных сторон представляет собой постоянную величину с, которая называется константой подобия.

с=l₁/l₁^*=l₂/l₂^*=l₃/l₃^*

С помощью константы подобия можно сравнивать между собой только две фигуры. Если в качестве масштаба взять один из линейных размеров, например треугольника, то для всех подобных треугольников

l₁/l₂ = l₁^*/l₂^* = l₁^**/l₂^** = i

Безразмерная величина i носит название инварианта подобия, с помощью которой можно сравнивать любое количество подобных фигур.

Аналогично геометрическому подобию, физические поля подобны, если в сходственных точках отношение физических величин выражено постоянными значениями констант подобия:

^*=c; ^*=с;^*=с;^*=с.

Если процесс нестационарный, то подобие наступает в сходственные моменты времени.

Физические и геометрические параметры, определяющие характеристики процесса, в наибольшей степени проявляют себя не каждая в отдельности, а в комплексе величин, характерной для каждой группы процессов. Таких комплексов оказывается намного меньше, чем величин, существенных для течения процесса. Т.о

применение комплексов переменных позволяет значительно упростить описание процесса. Такие комплексы называются критериями или числами подобия

Вопрос о подобии модельных и натуральных явлений необходимо решать с применением теорем подобия, которые отвечают на вопросы:

какие величины необходимо изучать при эксперименте;

как обрабатывать результаты;

какие явления подобны изучаемому, или как построить подобную модель.

На первый вопрос отвечает первая теорема подобия или теорема Ньютона: подобные физические явления имеют численно равные критерии подобия.

Критерии подобия бывают двух видов: критерии - комплексы, состоящие из разноименных физических и геометрических величин, и критерии-симплексы, состоящие из одноименных величин. Каждый критерий имеет определенный физический смысл и выражает меру соотношения сил, существенных для данного процесса. Критерии - всегда безразмерные. Примером критерия-комплекса является критерий Рейнольдса:

Re = Wd,

что представляет собой отношение сил инерции к силам вязкостного трения при движении жидкости. Линейный размер, входящий в числа подобия, является наиболее характерным для исследуемой системы и называется определяющим или характерным размером.

Вторая теорема подобия регламентирует способ обработки результатов эксперимента, чтобы они носили обобщенный характер и могли быть использованы для широкого круга явлений. Теорема была сформулирована Федерманом и Букингемом: Любая зависимость между переменными, характеризующими какое-либо явление, может быть представлена в виде зависимости между критериями подобия или в форме критериального уравнения.

Обычно такую зависимость принято представлять в виде степенной функции. выражаемой зависимость определяемого критерия К₁,содержащего искомую величину, от определяющих критериев К₂,К₃,К₄,...,К_n, отрожающих различные стороны процесса:

К₁= С К₂^m К₃ⁿ К₄^d...

Константа С и показатели степени m,n и d, входящие в уравнение подобия, определяются на основе экспериментов.

Количество и вид критериев могут быть найдены либо аналитическим путем из анализа дифференциального уравнения, описывающего процесс, либо на основе теории размерностей.

На вопрос о числе критериев, входящих в критериальное уравнение отвечает‑теорема: всякое уравнение, связывающее N физических и геометрических величин, размерность которых выражена через n основных единиц измерения, может быть представлена уравнением подобия, связующим  критериев, где

 = N-n.

В системе “СИ” основными единицами измерения являются метр, килограмм, секунда, Кельвин.

При этом необходимо помнить, что каждой паре одноименных первоначальных величин соответствует один критерий-симплекс.

Третья теорема подобия формулирует необходимые и достаточные требования подобия модельных и натуральных явлений: подобны те явления, которые описываются одной и той же системой дифференциальных уравнений и имеют подобные условия однозначности.

Условия однозначности включают следующие требования:

а) сведения о геометрических свойствах (конфигурация и размеры);

б) данные о физических свойствах продуктов и материалов;

в) данные о состоянии системы на ее границах (граничные условия) и о взаимодействии с окружающей средой;

г) данные о состоянии системы в начальный и конечный моменты времени (временные условия).

Числа подобия, состоящие из величин, входящих в условия неоднозначности, называются определяющими. Числа подобия, в состав которых входит хоть одна величина, не входящая в условия однозначности, называются неопределяющими или определяемыми. равенство определяющих чисел подобия является условием подобия, а равенство определяемых чисел - следствием подобия процессов.

Методы моделирования

При моделировании явление изучается не на натуральном объекте, а на его модели и распространяют результаты на натуральный объект. Методы моделирования основаны на подобии различных объектов. Подобными называются объекты, у которых соответственные параметры отличаются только масштабом величин.

Все модели разделяются на знаковые (символичные, мысленные) и реальные (вещественные, материальные).

Знаковые модели состоят из математических зависимостей, описывающих физико-химические, конструктивные параметры процесса,такие модели называются математическими. Особенностью мысленной модели является возможность описывать объект разными способами и с различной степенью упрощения.

Реальная модель является физическим объектом, воплощенном в в каком-либо материале или веществе. Любая реальная модель строится на основе мысленной.

Реальные модели подразделяются на физические, и аналоговые. Физическая модель имеет одинаковую с изучаемым явлением физическую природу и воспроизводит его свойства.

Аналоговая модель основана на сходстве математического описания процессов различной физической природы. Например существует аналогия между переносом тепла и прохождением электрического тока.

Основные правила моделирования описывает третья теорема подобия.

При любом способе меделирования необходимо соблюдение следующих условий однозначности:

а) геометрическое подобие необходимо при любом способе моделирования;

б) Временное подобие;

в) подобие физических величин; при аналоговом моделировании константы подобия имеют размерность, т.к. модельными изображениями размерных физических величин оригинала являются величины с иной размерностью;

г) подобие начальных условий;

д) подобие граничных условий. В большинстве случаев точное соблюдение условий однозначности не возможно. Поэтому полное подобие к аппарату не достигается и прибегают к приближенному моделированию.

Моделирование осуществляют в следующем порядке:

1. описывают процесс с помощью дифференциальных уравнений и условий однозначности;

2. выводят критерии подобия и выбирают из них определяющие и определяемые;

3. выбирают константы подобия для каждой величины;

4. рассчитывают и изготовляют модель;

5. принимают меры, чтобы в опытах определяющие критерии изменялись в тех же пределах, что и в оригинале.