Понятие модели и моделирования.

Понятие модели и моделирования.

Под моделью понимается такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале. Любая модель строится и исследуется при определенных допущениях, гипотезах. Модель является результатом отображения одной структуры на другую.

Моделирование -это процесс, который позволяет осуществлять перенос информации от реальной системы к модели и наоборот. Модель всегда строиться с определенной целью, которая оказывает влияние на то, какие свойства объективного явления оказываются существенными, а какие-нет.

 

3.Свойства, требования и задачи моделирования.

Свойства: - целенаправленность -модель имеет цель.

- конечность -модель отражает оригинал лишь в конечном числе его отношений и кроме того ресурсы моделирования конечны.

- упрощенность -модель отображает только существенные стороны объекта и должна быть проста для исследования и воспроизведения.

- приблизительность -действительность отображается моделью грубо или приблизительно.

- адекватность -модель должна успешно описывать моделируемую систему.

- наглядность -обозримость основных свойств, отношений.

- доступность и технологичность - для исследования или воспроизведения.

- инфомативность -модель должна содержать достаточную информацию о системе.

- сохранение информации, содержащейся в оригинале.

- полнота -в модели должны быть учтены все основные связи и отношения, необходимые для обеспечения цели моделирования.

- устойчивость -модель должна описывать устойчивое поведение системы, если даже вначале является неустойчивой.

- целостность -модель реализует систему как единое целое.

- замкнутость -модель учитывает и отображает замкнутую систему необходимых основных гипотез, связей и отношений.

- адаптивность -модель может быть приспособленной к различным входным параметрам.

- эволюционируемость -возможность развития моделей.

Требования: Модель всегда строиться с определенной целью, которая оказывает влияние на то, какие свойства объективного явления оказываются существенными, а какие-нет. Она является результатом отображения одной структуры на другую.

Задачи: -модель должна быть понятной и доступной для понимания;

-должны быть определены

наилучшие способы управления при заданных целях и задачах.

 

 

Виды моделей по формам представления и внешним размерам.

- Статистическая -если среди параметров, участвующих в написании модели нет временного параметра. Статистическая модель в каждый момент времени дает лишь «фотографию» системы, ее срез.

- Динамическая – если модель отображает систему во времени.

- Дискретная – если она описывает поведение только в дискретные моменты времени.

- Непрерывная – если описывает поведение системы для всех моментов времени из некоторого промежутка.

- Имитационная – если она предназначена для испытания или изучения проигрывания возможных путей развития и поведения объекта путем варьированиянекоторых или всех параметров модели.

- Детерминированная – если каждому входному набору параметров соответствует вполне определенный и однозначно определяемый набор входных параметров, в противном случае модель вероятностная.

- Логическая – представлена логическими функциями.

- Игровая – описывает некоторую игровую ситуацию между участниками игры.

- Алгоритмическая – описана некоторым алгоритмом или комплексом алгоритмов, определяющим его функционирование, развитие.

- Языковая – представлена формализированной языковой структурой.

- Визуальная – позволяет визуализировать отношение и связи моделируемой системы.

- Натуральная – материальная копия объекта моделирования.

- Геометрическая – представлена геометрическими образами и объектами.

 

Основные этапы процесса моделирования.

- Постановка задачи -включает в себя стадии: описание задачи, определение цели моделирования, анализ объекта.

-Формализация задачи -связан с созданием модели, записанной на каком-либо формальном языке.

-Разработка компьютерной модели -начинается с выбора программной среды, в которой будет создаваться и исследоваться модель.

-Компьютерный эксперимент -включает две стадии: тестирование модели и проведение исследования.

- Анализ результатов моделирования -является ключевым для процесса моделирования. Если результаты не соответствуют целям поставленной задачи, значит, на предыдущих этапах были допущены ошибки. В этом случае необходимо возвращаться к одному из предыдущих этапов. Процесс повторяется до тех пор, пока результаты компьютерного эксперимента не будут отвечать целям моделирования.

ВЭ.Виды эксперимента (натуральный, лабораторный, вычислительный).

ВЭ – эксперимент над математической модельюна ЭВМ, которая состоит в том что по первым параметрам модели вычисляются ее другие параметры и на этой основе делаются выводы о свойствах модели описываемого математической моделью.

Виды:

Натуральный- затруднены из-за финансовых или физических препятствий или могут дать непредсказуемый результат.

Лабораторный- методическая стратегия, направленная на моделирование деятельности индивида в специальных условиях.

Вычислительный- метод исследования явления или процесса, для которых разработана компьютерная модель.

16. ЗЛП. Целевая функция и ее оптимизация.

Задачей оптимизации называется задача нахождения экстремума (минимума или максимума) целевой функции в некоторой области конечномерного векторного пространства, ограниченной набором линейных и/или нелинейных равенств и/или неравенств.

Оптимизация.

-Процесс нахождения экстремума функции. То есть выбор наилучшего варианта, из множества возможных.

-Процесс приведения системы в наилучшее (оптимальное состояние)

Классификация математических моделей по зависимости от времени, по отраслям знаний. Примеры задач.

Классификация математических моделей:

1.Мат модели в зависимости от характера отображаемых свойств объекта различают функциональные и структурные. Функциональные отображают процессы функ-ния, чаще всего они имеют форму систем уравнений.

2.Мат модели различают по способам различения функциональных мат. моделей, теоретические и формальные. Теор. получают на основе изучения физических, химичеких закономерностей. Структура уравнений и параметры модели имеют определенное конкретно-предметное толкование.

3.В зависимости от линейности или нелинейности уравнений

4.В зависимости от множества значений переменной модели: непрерывные и дискретные

5.По форме связей между выходными внутренними и внешними параметрами: алгоритмические и аналитические. Алгоритмические – модели ввиде систем уравнений. Аналитические – модели ввиде зависимостей выходных параметров от внутренних и внешних

6.По общему и целевому назначению. Балансовые, трендовые оптимизационные имитационные.

7.По типу мат. аппарата: матричные модели линейного и нелинейного, модели динам. программирования, модели массового обслуживания, модели сетевого планирования и управления, модель теории игр.

8.По подходу к изучаемому явлению: дескриптивные - описание факт. наблюдаемых явлений, нормативные - описание того какой должна быть система.

В общем случае вид мат модели зависит не только от природы реального объекта но и от тех задач ради решения которых она создается и требуемой точности решения.

 

Экономико-математические модели. Примеры моделей. Взаимосвязь моделирования и техники.

Экономико-математическая модель (ЭММ) — это математическое описание экономического объекта или процесса с целью их исследования и управления ими.

Математическое моделирование означает создание условного образа объекта и описание его с помощью символов и операций, принятых в математике. К наиболее известным экономико-математической моделям относятся модели межотраслевого баланса (статичные и динамичные), при которых широко используются системы линейных уравнений. Идеи метода межотраслевого баланса используются для построения систем матричных моделей предприятий.

В экономической науке широко применяются также линейно-программные модели для решения задач рационализации перевозки грузов, выбора наилучших решений в сельскохозяйственном.производстве, эффективного развития отрасли и отдельного предприятия. Если задача в силу сложности объекта не может быть решена с помощью линейного программирования, используют методы нелинейного программирования.

В экономико-математических расчетах используются и экономико-статистические модели. Они применяются, в частности, для прогнозирования развития экономики.

Для анализа сложных экономических процессов применяются также модели общего экономического равновесия, в которых, с одной стороны, моделируется процесс производства в отраслях народного хозяйства, а с другой - процесс потребления различных групп потребителей: В настоящее время накоплен большой опыт применения экономико-математических моделей для анализа экономических процессов, прогнозирования и планирования.

 

Стандартная задача ЛП

Целевая функция max(c1x1+c2x2+..+CnXn)

A11X1+A12X2+……..+A1nXn <=b1

A21X1+A22X2+……+A2nXn<=b2

Am1X1+Am2X2+….+AmnXn<=bm

Условие не отрицательности

X1>0, x2>=0 ………. Xn>=0

Стандартная задача важна ввиду наличия большого числа прикладных моделей сводящихся наиболее естественным образом к этому классу задач ЛП.

Каноническая задача

Целевая функция max(c1x1+c2x2+..+CnXn)

A11X1+A12X2+……..+A1nXn =b1

A21X1+A22X2+……+A2nXn =b2

Am1X1+Am2X2+….+AmnXn = bm

Условие не отрицательности

X1=0, x2=0 ………. Xn=0

Основные вычислительные схемы решения задач ЛП разработаны именно для канонической задачи.

Общая задача ЛП

В этой задаче часть ограничений носит характер неравенств а часть явл уравнениями, кроме того не на все переменные наложено условие не отрицательности.

A11X1+A12X2+…..+A1nXn <=b1

A21X1+A22X2+……+A2nXn <=b2

AkX1+Ak2X2+ …… + AknXn<=bk

Ak+1X1+ Ak+1X2 + ….. + Ak+1nXn = bk+1

X1>0, x2>0…. Xr>0

Где к <=m а r<=n

Стандартная задача получается как частный случай общей задачи при k = m, r=n

Каноническая при k=0, r=n.

 

20. Двойственная ЗЛП. Теорема двойственности.

Двойственная ЗЛП - формальная модель ЗЛП симметричная к исходной постановке в части управляемых переменных, коэффициентов целевой функции и ограничений.

Для рада практических задач ЗЛП целесообразно заменить решение исходной прямой задачи решением соответствующей двойственной задачи, симметричной исходной.

Теорема – если прямая и двойственная задачи линейного моделирования имеют оптимальные решения, то значения их целевых функций равны

MinCX = maxYB

Таким образом, всегда имеется возможность выбора решать прямую или двойственную задачу.

 

 

14. Основные понятия, определения, общий вид задачи линейного программирования.

Линейное программирование – это раздел математики, ориентированный на нахождение экстремума в задачах, которые описываются линейными уравнениями.

Необходимые условия ЗЛП:

1.Наличие ограничений на ресурсы;

2.Выбор критерия останова алгоритма, т.е. целевая функция должна быть оптимальна в некотором смысле;

Критерий останова алгоритма:

1.Быть единственным для данной задачи;

2.Измеряться в единицах количества;

3.Линейно зависеть от входных параметров;

Общий вид ЗЛП:

Целевая функция max(c1x1+c2x2+..+CnXn)

A11X1+A12X2+……..+A1nXn =b1

A21X1+A22X2+……+A2nXn =b2

Am1X1+Am2X2+….+AmnXn = bm

Условие не отрицательности

X1=0, x2=0 ………. Xn=0

 

15. Канонический вид ЗЛП. Оптимальный и допустимый планы.

Одним из универсальных методов ЛП является симплексный метод, который, однако, можно применять, если задача ЛП имеет каноническую форму.

Определение. Задача ЛП имеет каноническую форму, если все ограничения системы состоят только из уравнений (кроме неравенств, выражающих неотрицательность переменных) и целевую функцию необходимо минимизировать.

Любая общая задача ЛП может быть приведена к канонической форме.

Приведение общей задачи ЛП к канонической форме достигается путем введения новых (их называют дополнительными) переменных.

Если для канонической ЗЛП вектор решений с не содержит положительных элементов и является допустимым планом для данной ЗЛП, то этот вектор является оптимальным планом для данной ЗЛП.

Если для канонической ЗЛП вектор решений с содержит положительные и большие нуля элементы и является допустимым планом для данной ЗЛП, то этот вектор является опорным (допустимым) планом для данной ЗЛП.

 

17. ЗЛП. Алгоритм графического метода решения ЗЛП.

Графический способ решения ЗЛП

Геометрическая интерпретация ЗЛП и графический метод решения

Система ограничений ограничений ЗЛП геометрическуи представляет собой многоугольник или многоулгольную область как пересечение полуплоскостей – геометрических образов неравенств системы. Целевая функция F=C1X1+C2X2 геометрически изображает семейство параллельных прямых, перпендикулярных вектору n(c1, c2)

Теорема: При перемещении прямой целевой функции направлении вектора n значения целевой функции возрастают, в противоположном направлении – убывают.

На этих утверждениях основан графический метод решения ЗЛП.

Mathcad. Общий обзор.

Mathcad – система компьютерной алгебры из класса системы автоматизированного проектирования, ориентированная на подготовку интерактивных документов с вычислениями и визуальным сопровождением.

Создатель: Аллен Раздов

Используется в сложных проектах что бы визуализировать результаты математического моделирования:

-Решение дифференциальных уравнений

-Построение 2-ных и 3-ных графиков

-Использование греческого алфавита

-Выполнение операций с векторами и матрицами

-Решение систем уравнений

-Поиск чисел и векторов

Документ MathCad представляет собой рабочий лист, на котором размещены блоки трех типов: математические выражения, фрагменты текста, графические области.

Расположение математический выражений и графический областей определяется порядком использования слева направо, сверху вниз. Место очередного блока указывается курсором, который вне блоков имеет вид красного крестика.

Ввод текста начинают с кавычек, текст который вводится без кавычек восприимчив как математическое выражение.

MathCad различает строчные и прописные буквы (то есть необходимо соблюдать правильность написания, если в функции использовали X а затем х, то это является ошибкой). Переменным – до использования необходимо присвоить значение. Оператор присваивания := вводится нажатием клавиши :. Такое присваивание называют локальным – оно действительно до нового присваивания.

Для вывода и вычисления значения константы или переменной, предназначен знак =.

Значение глобальных переменных известны в любом месте документа, в том числе и до точки их объявления. Для глобального присваивания предназначен знак

≡ который вводится с панели инструментов: Evalution.

Некоторые переменные (системные или встроенные) – BuildIN определенных в самой системе pi, g. Их можно переопределить присваиванием нового значения.

Дробная часть от целой в десятичной дроби отделяется. Отсутствующие на клавиатуре символы вводятся с панели инструментов.

 

 

Понятие модели и моделирования.

Под моделью понимается такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале. Любая модель строится и исследуется при определенных допущениях, гипотезах. Модель является результатом отображения одной структуры на другую.

Моделирование -это процесс, который позволяет осуществлять перенос информации от реальной системы к модели и наоборот. Модель всегда строиться с определенной целью, которая оказывает влияние на то, какие свойства объективного явления оказываются существенными, а какие-нет.

 

3.Свойства, требования и задачи моделирования.

Свойства: - целенаправленность -модель имеет цель.

- конечность -модель отражает оригинал лишь в конечном числе его отношений и кроме того ресурсы моделирования конечны.

- упрощенность -модель отображает только существенные стороны объекта и должна быть проста для исследования и воспроизведения.

- приблизительность -действительность отображается моделью грубо или приблизительно.

- адекватность -модель должна успешно описывать моделируемую систему.

- наглядность -обозримость основных свойств, отношений.

- доступность и технологичность - для исследования или воспроизведения.

- инфомативность -модель должна содержать достаточную информацию о системе.

- сохранение информации, содержащейся в оригинале.

- полнота -в модели должны быть учтены все основные связи и отношения, необходимые для обеспечения цели моделирования.

- устойчивость -модель должна описывать устойчивое поведение системы, если даже вначале является неустойчивой.

- целостность -модель реализует систему как единое целое.

- замкнутость -модель учитывает и отображает замкнутую систему необходимых основных гипотез, связей и отношений.

- адаптивность -модель может быть приспособленной к различным входным параметрам.

- эволюционируемость -возможность развития моделей.

Требования: Модель всегда строиться с определенной целью, которая оказывает влияние на то, какие свойства объективного явления оказываются существенными, а какие-нет. Она является результатом отображения одной структуры на другую.

Задачи: -модель должна быть понятной и доступной для понимания;

-должны быть определены

наилучшие способы управления при заданных целях и задачах.