Вычислительный эксперимент. Характеристика ВЭ.

ВЭ – эксперимент над математической модельюна ЭВМ, которая состоит в том что по первым параметрам модели вычисляются ее другие параметры и на этой основе делаются выводы о свойствах модели описываемого математической моделью.

В проведении вычислительного эксперимента участвует коллектив исследователей – специалисты с конкретной предметной области, математики-теоретики, программисты. Это связано с тем что моделирование реальных объектов на ЭВМ включает в себя большой объем работ по исследованию их физической и математической модели, вычислительных алгоритмов, программирование и обработки результатов.

Вычислительный или компьютерный эксперимент во многом аналогичен обычному (натурному). Это и планирование экспериментов, и создание и выполнение контрольных испытаний. Затем следует проведение серийных опытов, обработка экспериментальных данных, их интерпретация и так далее.

Однако вычислительный эксперимент проводится не над реальным объектом а над его математической моделью, роль экспериментальной установки играет оснащенная специально разработанной программой ЭВМ.

Вычислительный эксперимент, как правило, дешевле физического. Его можно повторить или прервать в любой момент. В ряде случаев проведение физического эксперимента бывает затруднено, так как изучается быстро протекающие процессы.

Часто проведение полномасштабного натурного эксперимента связано с губительными или непредсказуемыми последствиями с опасностью для жизни и здоровья человека.

С помощью вычислительного эксперимента оказывается возможным прогнозировать свойства новых еще не созданных конструкций и материалов на стадии их проектирования.

 

Основные этапы ВЭ. Сфера применения.

Основные этапы ВЭ:

1.Проведение натурного эксперимента

2.Построение мат. модели

3.Выбор и применение численного метода для нахождения решения

4.Обработка результатов вычислений

5.Сравнение с результатами обработки эксперимента

6.Принятие решения о продолжении натурного эксперимента

7.Накопление экспериментальных данных

8.Построение мат. модели

9.Автоматическое построение программной реализации мат. модели

10.Автоматизированное нахождение численного решения

11.Автоматизированные преобразование вычислительных результатов, форм, удобную для анализа

12.Принятие решения о продолжении натурных экспериментов

Сферы применения:

- Энергетическая проблема прогнозирование атомных и термоядерных реакторов на основе детального мат. моделирования, происходящих в них физических процессов.

- Косм. проблема -расчет траектории летательных аппаратов, задачи обтекания. Обработка данных натурального эксперимента.

-Технологические процессы -получение кристаллов и пленок для создания вычислительной техники, для решения проблем в области элементарной базы.

-Эколог. проблемы -вопросы прогнозир. и управления эколог. системами могут решаться лишь на основе мат. моделирования, так как эти системы существуют в един-ом экземпляре.

-Химия -расчет хим. реакций, определение их констант.

-Биология -связано с изучение фундаментальных проблем этой науки (генетики).

- Физика -классическая область применения мат. моделирования.

 

 

Компьютерное моделирование: постановка задачи, огрубление исходного процесса, формализация, разработка алгоритма и написание программы.

Компьютерная модель — компьютерная программа, работающая на отдельном компьютере или множестве взаимодействующих компьютеров и реализующая абстрактную модель некоторой системы.

-Постановка задачи -включает в себя стадии: описание задачи, определение цели моделирования, анализ объекта.

-огрубление исходного процесса -выявление основных элементов системы и элементарных актов взаимодействия.

-Формализация -связан с созданием модели, записанной на каком-либо формальном языке.

-Разработка алгоритма -начинается с выбора программной среды, в которой будет создаваться и исследоваться модель.

-Написание программы -реализация.

Компьютерное моделирование: получение результата на ЭВМ, анализ результата, уточнение модели.

Компьютерная модель — компьютерная программа, работающая на отдельном компьютере или множестве взаимодействующих компьютеров и реализующая абстрактную модель некоторой системы.

-получение результата на ЭВМ

-анализ результата -является ключевым для процесса моделирования. Если результаты не соответствуют целям поставленной задачи, значит, на предыдущих этапах были допущены ошибки.

-уточнение модели -возвращение к одному из предыдущих этапов. Процесс повторяется до тех пор, пока результаты компьютерного эксперимента не будут отвечать целям моделирования.

 

13. Задача линейного программирования. Сферы применения линейного моделирования.

Основные формы задачи линейного программирования (ЛП):

Стандартная задача ЛП

Целевая функция max(c1x1+c2x2+..+CnXn)

A11X1+A12X2+……..+A1nXn <=b1

A21X1+A22X2+……+A2nXn<=b2

Am1X1+Am2X2+….+AmnXn<=bm

Условие не отрицательности

X1>0, x2>=0 ………. Xn>=0

Стандартная задача важна ввиду наличия большого числа прикладных моделей сводящихся наиболее естественным образом к этому классу задач ЛП.

Каноническая задача

Целевая функция max(c1x1+c2x2+..+CnXn)

A11X1+A12X2+……..+A1nXn =b1

A21X1+A22X2+……+A2nXn =b2

Am1X1+Am2X2+….+AmnXn = bm

Условие не отрицательности

X1=0, x2=0 ………. Xn=0

Основные вычислительные схемы решения задач ЛП разработаны именно для канонической задачи.

Общая задача ЛП

В этой задаче часть ограничений носит характер неравенств а часть явл уравнениями, кроме того не на все переменные наложено условие не отрицательности.

A11X1+A12X2+…..+A1nXn <=b1

A21X1+A22X2+……+A2nXn <=b2

AkX1+Ak2X2+ …… + AknXn<=bk

Ak+1X1+ Ak+1X2 + ….. + Ak+1nXn = bk+1

X1>0, x2>0…. Xr>0

Где к <=m а r<=n

Стандартная задача получается как частный случай общей задачи при k = m, r=n

Каноническая при k=0, r=n.

 

20. Двойственная ЗЛП. Теорема двойственности.

Двойственная ЗЛП - формальная модель ЗЛП симметричная к исходной постановке в части управляемых переменных, коэффициентов целевой функции и ограничений.

Для рада практических задач ЗЛП целесообразно заменить решение исходной прямой задачи решением соответствующей двойственной задачи, симметричной исходной.

Теорема – если прямая и двойственная задачи линейного моделирования имеют оптимальные решения, то значения их целевых функций равны

MinCX = maxYB

Таким образом, всегда имеется возможность выбора решать прямую или двойственную задачу.

 

 

14. Основные понятия, определения, общий вид задачи линейного программирования.

Линейное программирование – это раздел математики, ориентированный на нахождение экстремума в задачах, которые описываются линейными уравнениями.

Необходимые условия ЗЛП:

1.Наличие ограничений на ресурсы;

2.Выбор критерия останова алгоритма, т.е. целевая функция должна быть оптимальна в некотором смысле;

Критерий останова алгоритма:

1.Быть единственным для данной задачи;

2.Измеряться в единицах количества;

3.Линейно зависеть от входных параметров;

Общий вид ЗЛП:

Целевая функция max(c1x1+c2x2+..+CnXn)

A11X1+A12X2+……..+A1nXn =b1

A21X1+A22X2+……+A2nXn =b2

Am1X1+Am2X2+….+AmnXn = bm

Условие не отрицательности

X1=0, x2=0 ………. Xn=0

 

15. Канонический вид ЗЛП. Оптимальный и допустимый планы.

Одним из универсальных методов ЛП является симплексный метод, который, однако, можно применять, если задача ЛП имеет каноническую форму.

Определение. Задача ЛП имеет каноническую форму, если все ограничения системы состоят только из уравнений (кроме неравенств, выражающих неотрицательность переменных) и целевую функцию необходимо минимизировать.

Любая общая задача ЛП может быть приведена к канонической форме.

Приведение общей задачи ЛП к канонической форме достигается путем введения новых (их называют дополнительными) переменных.

Если для канонической ЗЛП вектор решений с не содержит положительных элементов и является допустимым планом для данной ЗЛП, то этот вектор является оптимальным планом для данной ЗЛП.

Если для канонической ЗЛП вектор решений с содержит положительные и большие нуля элементы и является допустимым планом для данной ЗЛП, то этот вектор является опорным (допустимым) планом для данной ЗЛП.

 

17. ЗЛП. Алгоритм графического метода решения ЗЛП.

Графический способ решения ЗЛП

Геометрическая интерпретация ЗЛП и графический метод решения

Система ограничений ограничений ЗЛП геометрическуи представляет собой многоугольник или многоулгольную область как пересечение полуплоскостей – геометрических образов неравенств системы. Целевая функция F=C1X1+C2X2 геометрически изображает семейство параллельных прямых, перпендикулярных вектору n(c1, c2)

Теорема: При перемещении прямой целевой функции направлении вектора n значения целевой функции возрастают, в противоположном направлении – убывают.

На этих утверждениях основан графический метод решения ЗЛП.