Проверка значимости коэффициента корреляции

После того, как вычислен выборочный коэффициент корреляции , следует проверить гипотезу об отсутствии корреляционной связи для генеральной совокупности Н₀: .

Для этого вычисляется критерий

(2.7)

и сравнивается с табличным значением критерия Стьюдента с степенями свободы уровня значимости .

Если , то с надежностью можно отвергнуть гипотезу Н₀ и считать, что корреляция имеется.

Частный коэффициент корреляции , вычисленный на основе выборки объема n, имеет такое же распределение, как и , вычисленный по наблюдениям. Поэтому значимость частного коэффициента корреляции проверяют так же, как и обычного коэффициента корреляции, но при этом полагают, что .

 

Корреляционное отношение

 

Для измерения тесноты связи между двумя случайными величинами используется не только коэффициент корреляции, но и корреляционное отношение.

Рассмотрим аналитическую группировку. Имеет место следующее соотношение

, (2.8)

где − полная дисперсия признака-результата;

− внутригрупповая дисперсия;

− межгрупповая дисперсия.

Внутригрупповая дисперсия характеризует ту часть дисперсии признака-результата, которая не зависит от признака-фактора. Ее оценка определяется по формуле

, (2.9)

где – оценка дисперсии признака-результата в пределах отдельной

(i- й) группы по признаку-фактору;

n_i – численность i- й группы;

k – количество групп;

n – общий объем выборки.

Межгрупповая дисперсия отражает ту часть общей дисперсии признака-результата, которая объясняется влиянием признака-фактора. Ее оценка определяется по формуле

, (2.10)

где − групповое среднее i -й группы;

– общее среднее значение признака-результата.

Коэффициент детерминации определяет долю объясненной дисперсии в общей дисперсии признака-результата:

. (2.11)

Корреляционное отношение определяется как

. (2.12)

В литературе по эконометрике корреляционное отношение принято называть индексом корреляции.

Оно является мерой тесноты связи при любой форме зависимости, а не только линейной, как коэффициент корреляции.

 

Парная линейная регрессия

 

Следующий этап исследования корреляционной связи заключается в том, чтобы описать зависимость признака-результата от признака-фактора некоторым аналитическим выражением.

; ,

где − средний уровень показателя Y при данном значении x;

ε – случайная компонента.

Модель парной линейной регрессии может быть записана и в следующем виде:

где x_i – значение переменной X в i -м наблюдении;

y_i – значение переменной Y в i -м наблюдении;

ε_i – значение случайной компоненты ε в i -м наблюдении;

n – число наблюдений (объем выборки).

Основные предположения регрессионного анализа относятся к случайной компоненте и имеют решающее значение для правильного и обоснованного применения регрессионного анализа на практике.

В классической модели регрессионного анализа имеют место следующие предположения:

1. Величины (а также зависимые переменные являются случайными, а объясняющая переменная – величина неслучайная.

2. Математическое ожидание случайной компоненты равно нулю

().

3.Случайные величины имеют одинаковую дисперсию (). Данное условие называется условием гомоскедастичности.

4. Случайные компоненты и являются некоррелированными между собой ( при ).

Эти четыре предположения являются необходимыми для проведения регрессионного анализа в рамках классической модели.

Пятое предположение дает достаточные условия для обоснованного проведения проверки статистической значимости полученных регрессий и заключается в нормальности закона распределения .

В общем случае задача оценки параметров регрессии может решаться с помощью метода наименьших квадратов (МНК).

Рассмотрим использование метода наименьших квадратов для оценки параметров регрессии

. (2.13)

На практике имеется серия наблюдений (x_i;y_i) (i=1,..,n).

При этом

.

Тогда

. (2.14)

Возьмем частные производные Q по параметрам и и приравняем их нулю:

, (2.15)

.