Найдем ковариационную матрицу оценок

.

В этой матрице элементами главной диагонали являются дисперсии оценок .

Выполним преобразование:

,

откуда .

Тогда

.

Полученное выражение содержит матрицу :

 

M(ee ^T) = .

 

В данной матрице все элементы, не лежащие на главной диагонали, равны 0 (в силу предположения о некоррелированности ошибок e_i). Поскольку все ошибки имеют одинаковую дисперсию, то

,

где Е – единичная матрица.

Окончательно получим

. (4.14)

Так как величина s² неизвестна, в качестве ее оценки используется величина

. (4.15)

Определим теперь дисперсию ошибки прогноза. Если t_L – прогнозный момент времени, то прогноз по полиномиальной модели имеет вид

.

Отметим, что

,

т. е. мы получили несмещенный прогноз среднего уровня :

+

+

Это выражение можно записать в матричной форме:

,

где T^T_L = (1 t_L t_L² …… t_L^m).

 

Учитывая (4.14), получим

.

Поскольку s² неизвестна, будем использовать ее оценку:

.

Ошибка прогноза обусловлена не только ошибкой оценки среднего, но и случайным отклонением от среднего уровня:

,

где – истинное значение среднего уровня.

Тогда

= .

Окончательно

. (4.16)

 

 

ПРИМЕР. Динамика объема продаж некоторого товара (тыс. шт.) за 9 лет приведена в табл. 4.3.

 

Т а б л и ц а 4. 3. Динамика объема продаж

Год	ti	yi	tiyi	ti^2	yiti^2	ti^3	ti^4	(t)
		18,2	18,2		18,2			17,6
		20,1	40,2		80,4			20,9
		23,4	70,2		210,6			23,3
		24,6	98,4		393,6			24,1
		25,6	128,0		640,0			25,5
		25,9	155,4		932,4			25,3
		23,6	165,2		1156,4			24,2
		22,7	181,6		1452,8			22,3
		19,2	172,8		1555,2			19,4
Cумма		203,3	1030,0		6439,6			203,3

 

Из таблицы видно, что в течение первых 6 лет объем продаж товара возрастал, а в последние 3 года снижался. Это говорит о невозможности аппроксимации временного ряда линейной зависимостью.

Попробуем описать динамику полиномом 2-го порядка (параболой)

.

Система уравнений для оценки параметров полинома 2-го порядка имеет вид

,

,

.

 

Для нашего примера (см. итоговую строку таблицы):

,

,

.

Решение этой системы дает коэффициенты полинома

,

а математическая модель принимает вид

.

Полученные с ее помощью «прогнозы» (для t = 1,…,9) приведены в последнем столбце таблицы. Нетрудно заметить, что они достаточно близки к реальным данным.

 

Стационарные временные ряды. Автокорреляционная функция

Важное значение в анализе временных рядов имеют стационарные временные ряды, вероятностные свойства которых не изменяются во времени.

Случайным процессом Y(t) называется функция от t,которая при любом значении t является случайной величиной.

Временной ряд можно рассматривать как одну из реализаций (траекторий) случайного процесса Y(t).

Временной ряд называется строго стационарным (или стационарным в узком смысле), если совместное распределение вероятностей случайных величин

 

 

точно такое же, как и для случайных величин

 

 

для любых t,τ и n.

Для стационарных временных рядов определяют степень тесноты связи между Y(t) и :

ибо

,

.

Зависимость называют автокорреляционной функцией. В силу стационарности временного ряда автокорреляционная функция зависит только от лага τ.

Под стационарным процессом в широком смысле понимают случайный процесс, у которого среднее и дисперсия не зависят от t, а автокорреляционная функция зависит только от длины лага между рассматриваемыми переменными:

 

,

,

,

 

где

Основная проблема в оценивании параметров случайного процесса состоит в том, что фактически имеется только одна его реализация. Данную проблему можно решить с использованием понятия эргодичности – замены усреднения по множеству реализаций случайного процесса усреднением по времени. Эргодичность делает возможным оценивание только по одной его реализации – временному ряду.

Оценка математического ожидания

= .

Оценка дисперсии

.

 

Оценка автокорреляции (выборочный коэффициент автокорреляции )

 

= .

 

Функцию называют выборочной корреляционной функцией, а ее график – коррелограммой. При расчете следует помнить, что с увеличением τ число n-τ пар наблюдений уменьшается, поэтому лаг должен быть таким, чтобы число n-τ было достаточным для определения . Обычно .

 

Адаптивные модели прогнозирования

 

При прогнозировании стационарных процессов используются так называемые адаптивные модели, к числу которых относятся модели экспоненциального сглаживания и модель Бокса-Дженкинса, которая является более общей по отношению к модели экспоненциального сглаживания.