Первое уравнение системы (2.15) можно преобразовать к виду

или

.

Второе уравнение можно преобразовать к виду

.

Таким образом, мы имеем систему уравнений

 

; (2.16)

.

Разделив обе части уравнений (2.16) на n, получим систему уравнений в виде

, (2.17)

,

где соответствующие средние определяются по формулам

; ;

; . (2.18)

Подставляя значение из первого уравнения системы (2.17) во второе, получим

 

, (2.19)

где – выборочная дисперсия переменной Х:

, (2.20)

– выборочная ковариация:

. (2.21)

Отметим, что линия регрессии проходит через точку , т. е.

.

В заключение приведем удобные для расчета оценок параметров формулы:

, (2.22)

. (2.23)

Если рассчитан выборочный коэффициент корреляции , то коэффициенты a₀ и a₁ могут быть определены следующим образом:

, , (2.24)

где – выборочная дисперсия переменной Y:

.

 

В качестве оценки дисперсии случайной компоненты используется

. (2.25)

При выполнении предположений 1-4 доказано, что оценки параметров и по методу наименьших квадратов и являются несмещенными с минимальными дисперсиями в классе линейных оценок (т. е. эффективными).

Кроме того, статистика является несмещенной оценкой дисперсии .

Проверка статистической значимости оценок коэффициентов регрессии

В действительности может оказаться, что фактор X не влияет на результирующий признак Y, что эквивалентно условию . Однако при этом . Для проверки существенности отклонения от 0 служит статистический тест. Рассматривается гипотеза H₀: a₁= 0 при альтернативной гипотезе H₁: .

Проверка значимости оценок с помощью критерия Стьюдента проводится путем сопоставления вычисленных значений оценок с величиной их среднего квадратичного отклонения.

Статистика теста имеет вид

 

. (2.26)

 

Известно, что дисперсия оценки определяется следующим образом:

. (2.27)

 

Поэтому для вычисления оценки можно использовать следующую формулу:

 

. (2.28)

 

Если , то принимается гипотеза H₀, в противном случае принимается гипотеза H₁. В случае принятия гипотезы H₀ фактор Х исключается из модели и принимается, что .

Использование регрессионной модели для прогноза. Дисперсия ошибки прогноза

Основное назначение регрессионной модели – использование ее для прогноза экономического показателя Y. Прогноз осуществляется подстановкой значения фактора в оценку детерминированной составляющей:

. (2.29)

Построим доверительный интервал для функции регрессии, т. е. для условного математического ожидания М(Y/x_l), который с заданной надежностью (доверительной вероятностью) Р = 1- накрывает неизвестное значение М(Y/x_l).

Найдем дисперсию прогноза , представляющего собой выборочную оценку М(Y/x_l). С этой целью уравнение (2.29) представим в виде

 

. (2.30)

 

Дисперсия равна сумме дисперсий двух независимых (доказательство этого факта опускается) слагаемых выражения (2.30).

 

. (2.31)

 

Здесь учтено, что – неслучайная величина, при вынесении которой за знак дисперсии ее необходимо возвести в квадрат.

Дисперсия выборочной средней

 

. (2.32)

 

Для нахождения дисперсии воспользуемся формулой (2.27), т. е.

.

Найдем оценку дисперсии , учитывая (2.21), (2.32), (2.27) и заменяя ее оценкой .

.
(2.33)

 

Основываясь на предпосылках 1–5 регрессионного анализа, можно показать, что статистика

 

 

имеет распределение Стьюдента с ν = n-2 степенями свободы и построить доверительный интервал для условного математического ожидания

 

. (2.34)

 

Из формул (2.33) и (2.34) видно, что величина доверительного интервала зависит от значения объясняющей переменной : при она минимальна, а по мере удаления от величина доверительного интервала увеличивается.

Ошибку прогноза можно представить следующим образом:

. (2.35)

Первая скобка представляет собой ошибку, вызванную наличием случайной составляющей ε. Ее дисперсия равна .

Вторая скобка представляет собой ошибку оценки среднего уровня. Ее дисперсия определяется по формуле (2.33).

Таким образом, для оценки дисперсии ошибки прогноза можно пользоваться следующим выражением:

. (2.36)

Эта формула учитывает как погрешность оценки так и отклонение от своего математического ожидания, обусловленное наличием случайной составляющей.

Из (2.36) следует, что с ростом дисперсия ошибки прогноза увеличивается.