Корреляция и взаимосвязь величин.

Значительная корреляция между двумя случайными величинами всегда является свидетельством существования некоторой статистической связи в данной выборке, но эта связь не обязательно должна наблюдаться для другой выборки и иметь причинно-следственный характер. Часто заманчивая простота корреляционного исследования подталкивает исследователя делать ложные интуитивные выводы о наличии причинно-следственной связи между парами признаков, в то время как коэффициенты корреляции устанавливают лишь статистические взаимосвязи.

Коэффициент корреляции - это статистический показатель зависимости двух случайных величин. Коэффициент корреляции может принимать значения от -1 до +1. При этом, значение -1 будет говорить об отсутствии корреляции между величинами, 0 - о нулевой корреляции, а +1 - о полной корреляции величин. Т.е., че ближе значение коэффициента корреляции к +1, тем сильнее связь мезду двумя случайными величинами.

Линейный коэффициент корреляции.

Для устранения недостатка ковариации был введён линейный коэффициент корреляции (или коэффициент корреляции Пирсона). Коэффициент корреляции рассчитывается по формуле:

где , — среднее значение выборок.

Коэффициент корреляции изменяется в пределах от минус единицы до плюс единицы.

Коэффициент корреляции рангов (Кендалла).

Применяется для выявления взаимосвязи между количественными или качественными показателями, если их можно ранжировать. Значения показателя X выставляют в порядке возрастания и присваивают им ранги. Ранжируют значения показателя Y и рассчитывают коэффициент корреляции Кендалла:

,где .

— суммарное число наблюдений, следующих за текущими наблюдениями с большим значением рангов Y.

— суммарное число наблюдений, следующих за текущими наблюдениями с меньшим значением рангов Y. (равные ранги не учитываются!)

Если исследуемые данные повторяются (имеют одинаковые ранги), то в расчетах используется скорректированный коэффициент корреляции Кендалла:

— число связанных рангов в ряду X и Y соответственно.

Коэффициент корреляции рангов (Спирмена)

Степень зависимости двух случайных величин (признаков) X и Y может характеризоваться на основе анализа получаемых результатов . Каждому показателю X и Y присваивается ранг. Ранги значений X расположены в естественном порядке i=1, 2,..., n. Ранг Y записывается как Ri и соответствует рангу той пары (X, Y), для которой ранг X равен i. На основе полученных рангов Х i и Yi рассчитываются их разности и вычисляется коэффициент корреляции Спирмена:

Значение коэффициента меняется от −1 (последовательности рангов полностью противоположны) до +1 (последовательности рангов полностью совпадают). Нулевое значение показывает, что признаки независимы.

Коэффициент множественной ранговой корреляции (конкордации).

,

— число групп, которые ранжируются.

— число переменных.

— ранг -фактора у -единицы.

Значимость:

, , , то гипотеза об отсутствии связи отвергается.

В случае наличия связанных рангов:

.

Множественная корреляция.

Множественная корреляция

Измерении связи между результативным признаком, двумя и более факторными. Этим занимается множественная корреляция.

Множественная корреляция решает три задачи. Она определяет:

- форму связи; - тесноту связи; - влияние отдельных факторов на общий результат.

Определение формы связи.

Определение формы связи сводится обычно к отысканию уравнения связно с факторами x,z,w,...v. Так, линейное уравнение зависимости результативного признака от двух факторных определяется по формуле

=a0+a1x+a2z

Для определения параметров а0, a1и а2, по способу наименьших квадратов необходимо решить следующую систему трех нормальных уравнений:

Измерение тесноты связи.

При определении тесноты связи для множественной зависимости пользуются коэффициентом множественной (совокупной) корреляции, предварительно исчислив коэффициенты парной корреляции. Так, при изучении связи между результативным признаком y и двумя факторными признаками - х и z, нужно предварительно определить тесноту связи между у и х, между у и z, т.е. вычислить коэффициенты парной корреляции, а затем для определения тесноты связи результативного признака от двух факторных исчислить коэффициент множественной корреляции по следующей формуле:

где rxy, rzy, rzx - парные коэффициенты корреляции.

Коэффициент множественной корреляции колеблется в пределах от 0 до 1. Чем он ближе к 1, тем в большей мере учтены факторы, определяющие конечный результат.

Если коэффициент множественной корреляции возвести в квадрат, то получим совокупный коэффициент детерминации, который характеризует долю вариации результативного признака у под воздействием всех изучаемых факторных признаков.

Совокупный коэффициент детерминации, как и при парной корреляции, можно исчислить по следующей формуле:

R2=у2y/у2y

где у2Y - дисперсия факторных признаков,

у2y - дисперсия результативного признака.

Однако вычисление теоретических значений Y при множественной корреляции и сложно, и громоздко. Поэтому факторную дисперсию у2Yисчисляют по следующей формуле:

Проверка существенности связи при множественной корреляции по сути ничем не отличается от проверки при парной корреляции.

Поскольку факторные признаки действуют не изолированно, а во взаимосвязи, то может возникнуть задача определения тесноты связи между результативным признаком и одним из факторных при постоянных значениях прочих факторов. Она решается при помощи частных коэффициентов корреляции. Например, при линейной связи частный коэффициент корреляции между х и у при постоянном z рассчитывается по следующей формуле:

В настоящее время на практике широкое распространение получил многофакторный корреляционный анализ.