Глава 5. Аппроксимация функций

Задача приближения (аппроксимации) функций заключается в том, чтобы для данной функции построить другую, отличную от нее функцию, значения которой достаточно близки к значениям данной функции.

В основном аппроксимация функции применяется в случае, если:

1. Функция задана таблицей в конечном множестве точек, а вычисления нужно произвести в других точках.

2. Функция задана аналитически, но ее вычисление по формуле затруднительно.

При решении задачи поиска приближенной функции возникают следующие проблемы:

1. Необходимо выбрать вид приближенной функции. Для приближения широко используются многочлены, тригонометрические функции, показательные функции и т. д.

2. Необходимо выбрать критерий близости исходной и приближенной функции. Это может быть требование совпадения обеих функций в узловых точках (задача интерполяции), минимизация среднеквадратического уклонения (метод наименьших квадратов) и др.

3. Необходимо указать правило (алгоритм), позволяющее с заданной точностью найти приближение функции.

Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке , то для любого  существует многочлен степени  абсолютное отклонение которого от функции  на отрезке меньше .

Т.е. любую функцию можно как угодно точно аппроксимировать многочленом, но теорема ничего не говорит, ни о способах нахождения этого многочлена, ни о количестве точек, ни об их расположении.

Определение аппроксимирующей функции представляет собой задание вида функции и нахождение ее коэффициентов. При аппроксимации многочленами предварительно задаются степенью многочлена и находят его коэффициенты. При этом отклонение от  должно быть наименьшим.

Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов–среднеквадратичное приближение функций с помощью многочлена:

.

На практике стараются подобрать аппроксимирующий многочлен как можно меньшей степени, обычно

Мерой отклонения многочлена  от заданной функции  на множество точек ()  при среднеквадратичном приближении является , равная сумме квадратов разностей между значениями многочлена и функции в заданных точках:

Коэффициенты многочлена надо подобрать так, чтобы величина  была минимальной. В этом состоит метод наименьших квадратов.

Запишем сумму квадратов отклонений для всех точек:

Коэффициенты  надо определить из условий минимума функции:

.

Минимум функции  найдем, приравнивая нулю частные производные по этим переменным:

Эти соотношения являются системой уравнений для определения . Найдем частные производные функции:

…

 

Преобразуем систему и получим

 

;

…

 

Данная система называется системой нормальных уравнений. Для того чтобы найти коэффициенты, надо задать вид функции .

Линейная аппроксимация. Зададим аппроксимирующую функцию как линейную:

 

;

 

Подставим значения функции и производных в систему и получим:

Вынесем коэффициенты за знак суммы, получим:

Обозначим:

 

 ; ; ; ;

 

Тогда систему можно переписать:

 

 

Применив формулу Крамера, получим

 

где  – число точек (пары ).

В итоге получаем формулу линейной аппроксимации:

 

.

 

Квадратичная аппроксимация. Зададим аппроксимирующую функцию в виде квадратного трехчлена:

 

 

Подставим функцию  и ее производные в систему, получим

Вынесем коэффициенты за знак суммы:

 

 

 

 

Мы получили систему линейных уравнений, поскольку в качестве аппроксимирующей функции выбрали многочлен. Если бы мы выбрали не многочлен, мы бы получили систему нелинейных уравнений. Теперь решим эту систему методом Крамера и найдем коэффициенты .

Для удобства можно ввести обозначения:

 

 

В этой системе все суммы (, … ) являются константами, а все неизвестные –это коэффициенты .

В итоге получим формулу квадратичной аппроксимации:

 

.

Лабораторная работа 5