Глава 8. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Решение дифференциальных уравнений является одной из важнейших математических задач.

Обыкновенными дифференциальными уравнениями(ОДУ) называются уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции . Их можно записать в виде

                 (8.1)

 

где – независимая переменная.

Наивысший порядок , входящей в уравнение производной, определяет порядок дифференциального уравнения.

Уравнение первого порядка можно записать в виде

Решением дифференциального уравнения (8.1) называется всякая функция , которая после ее подстановки в уравнение превращает его в тождество.

Общее решение ОДУ –го порядка содержит  произвольных  т.е. общее решение уравнения (8.1) имеет вид

Частное решение ОДУ получается из общего, если произвольным постоянным придать определенные значения.

Для уравнения первого порядка общее решение зависит от одной произвольной постоянной:

 .

Если постоянная принимает определенное значение , то получим частное решение:

Чтобы выделить одно решение, задают начальное условие:

                     (8.2)

На рис. 8.1 представлено общее решение уравнения первого порядка – семейство интегральных кривых. Частным решением, согласно теореме Коши, является кривая, проходящая через точку .

Рис. 8.1.

 

Рассмотрим теорему Коши. Если правая часть уравнения  и ее частная производная  определены и непрерывны в некоторой области  изменения переменных , то для всякой внутренней точки  этой области данное уравнение имеет единственное решение, принимающее заданное значение  при .

Задача Коши

Задача Коши заключается в отыскании функции , удовлетворяющей уравнению и начальному условию(8.2).

Обычно определяют решение задачи Коши на отрезке, расположенном справа от начального значения

Наиболее распространенными численными методами решения дифференциальных уравнений являются методы конечных разностей. Сущность этих методов состоит в том, что область непрерывного изменения аргумента и функции заменяется дискретным множеством точек, называемых узлами. Эти узлы составляют разностную сетку. Искомая функция непрерывного аргумента приближенно заменяется функцией дискретного аргумента на заданной сетке. Эта функция называется сеточной. Исходное дифференциальное уравнение заменяется разностным уравнением, т.е. производные заменяются конечноразностными отношениями.

Численными методами решаются не только отдельные уравнения, но и системы уравнений (чаще всего первого порядка), причем большинство методов решения одного уравнения легко распространяются на решение систем.

Метод Эйлера

Метод Эйлера – наиболее простой численный метод решения (систем) обыкновенных дифференциальных уравнений. Он имеет первый порядок точности.

Метод реализуется следующим алгоритмом.

Задано уравнение

 

и начальные условия:

Значения функции в узлах заменим сеточной функцией .

Для простоты примем постоянным шаг

Заменим производную конечно-разностным отношением

 

Отсюда получаем

 

Зная значение функции в начальной точке ,последовательно можно найти значения функции во всех точках сетки.

Метод Рунге-Кутта

Метод Рунге-Кутта является наиболее распространенным методом решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Существуют разностные схемы разного порядка точности, построенные на основе этого метода.

Приведем метод четвертого порядка:

 

 

;

 

;

 

;

 

.

 

Данный метод требует на каждом шаге четырехкратного вычисления правой части уравнения, но это окупается повышенной точностью, что дает возможность производить расчет с более крупным шагом. Алгоритм расчета подобен алгоритму расчета Эйлера. Разница в том, что внутри цикла сначала вычисляются  а затем – значение  в новом расчетном узле.

Приведем формулы Рунге–Кутта для системы двух уравнений:

С начальными условиями при .

Формулы имеют вид:

 

;

 

 

;

 

;

 

 

;

 

.

 

Аналогично можно записать формулы Рунге–Кутта для систем из трех и более уравнений. Алгоритм решения аналогичен алгоритму решения системы уравнений методом Эйлера.