Глава 4. Решение систем нелинейных уравнений

Запишем систему нелинейных уравнений в общем виде

 

.      (4.1)

 

На данный момент не существует прямых методов решения систем нелинейных уравнений в общем виде. Однако для решения часто используются итерационные методы.

Метод простых итераций

Выразим неизвестные в системе (4.1) и представим в следующем виде:

                   (4.2)

 

Зададим начальные приближения для Подставим их в правую часть системы (4.2) и получим значения неизвестных в следующей итерации:

 

 

где k – номер итерации.

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет выполнено следующее условие:

где n –количество уравнений. Если условие не выполняется, итерации повторяются, приняв

Для того чтобы не проверять условие для всех уравнений, условие окончания итераций можно записать в следующем виде:

 

 , .

Метод Ньютона-Рафсона

Метод Ньютона-Рафсона обладает более быстрой сходимостью. В основе метода лежит использование разложения функций в ряд Тейлора, причем члены, содержащие вторые и более высоких порядков производные, отбрасываются.

Будем рассматривать систему нелинейных уравнений также в общем виде. Пусть точное значение корней системы равно , а приближенные значения –  Тогда имеем:

 

 

Проведем разложение левых частей уравнений в ряд Тейлора, ограничиваясь лишь первыми членами относительно приращений:

 

…

 

Поскольку левые части уравнений равны нулю, то приравниваем нулю и правые части. В результате получим систему линейных уравнений (4.3)относительно приращений :

 

 

(4.3)

…

Производные вычисляются в точках .

Матрица системы записывается следующим образом:

 

 

Такая матрица называется матрицей Якоби, а определитель – якобианом. Для существования единственного решения необходимо и достаточно чтобы

Производная рассчитывается следующим образом: задаются начальные приближения  и вычисляются производные, входящие в систему (6) при этих значениях. Далее решается система относительно приращений , пока .

Лабораторная работа 2

 Применение метода простых итераций для решения систем линейных и систем нелинейных уравнений

Цель работы: изучить метод простых итераций для решения системы линейных и системы нелинейных уравнений, формулы для вычисления, написать программу на языке программирования для реализации данного метода.

Ход решения:

1. Написать программу и ввести начальные данные согласно условиям задачи. Начальные данные должны соответствовать начальным приближениям для вычисления неизвестных (корней).

2. Вывести на экран результат программы, т.е. вывести найденные неизвестные – корни систем уравнений.

Варианты заданий

Задание 1. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом простых итераций:

 

№ варианта	Уравнение	Точность
1	2	3
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.

 

Задание 2. Решить систему нелинейных уравнений методом простых итераций:

 

№ варианта	Уравнение	Точность	Начальное приближение
1	2	3	4
1.		0.001
2.		0.001
3.		0.001
4.		0.001
5.		0.001
6.		0.001
7.		0.001
8.		0.001
9.		0.001
10.		0.001

 

Входные данные, после запуска программы – начальные приближения и точность вычисления.

Выходные данные – корни систем уравнений и проверка (подстановка найденных значений в исходные уравнения).