Вычисление определенных интегралов с помощью

Численных методов

Цель работы: изучить методы численного интегрирования, алгоритм каждого метода, формулы для вычисления, написать программу на языке программирования для реализации данных методов.

К методам численного интегрирования относят метод прямоугольников (левых, правых, средних), метод трапеций и метод парабол (метод Симпсона).

Алгоритм метода прямоугольников:

 – соответственно нижний и верхний пределы интегрирования;

 количество участков разбиения;

– шаг;

 подынтегральная функция.

Ввод

Fo r to  step

Next

Печать

Алгоритм метода трапеций:

 –соответственно нижний и верхний пределы интегрирования;

 количество участков разбиения;

– шаг;

 подынтегральная функция.

Ввод

For to  step

Next

Печать

Алгоритм метода Симпсона:

 –соответственно нижний и верхний пределы интегрирования;

 количество участков разбиения (должно быть четным);

– шаг;

 подынтегральная функция.

Ввод

For to  step

Next

Печать

Варианты заданий

№ варианта	Интеграл	Шаг интегрирования
1	2	3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Входные данные после запуска программы – значения границ .

Выходные данные – вычисленное значение интеграла по каждому из четырех методов.

Реализация алгоритмов на языке C#. При вычислении определенных интегралов с помощью численных методов в основной части программы определяются верхний и нижний пределы интегрирования, количество интегралов разбиения, а для вычисления подынтегральной функции используется отдельный метод:

Static double func(double x)

{

return (Math.Sqrt(1.5 * x + 0.6)) / (1.6 + Math.Sqrt(0.8 * Math.Pow(x, 2) + 2));

}

Поскольку реализация алгоритма метода прямоугольников (левых и правых) и алгоритма метода трапеций одинакова, то вычисление можно организовать в одном цикле, при этом метод средних прямоугольников требует дополнительных условий.

int n = 50;

double H = (b - a) / n;

for (double x = a; x < b; x += H)

{

           result1 += func(x) * H;                     //левых прямоугольников

           result2 += func(x + H) * H;           //правых прямоугольников

result3 += H * (func(x) + func(x + H)) / 2; //трапеций

       }

for (double i = a; i< b - H; i = i + H)

       {

           result4 = result4 + (func(i) + func(i + H)) / 2;

//средних прямоугольников

}

Формула для вычисления функции по методу Симпсона достаточно громоздка, поэтому для удобства следует разбить ее на части, каждую из которых можно вычислить с помощью цикла с параметром FOR. Реализация данного метода представлена ниже:

// метод Симпсона

Static double Simpson(double a, double b, int n)

{

Int i;

double S = 0;

double[] x = new double[n + 1];

double h = (b - a) / n;

// значение функции для равноотстоящих точек

for (i = 0; i < n; i++)

{

x[i] = a + h * i;

       }

// для подсчета h/3 * (y0+yn)

S = h * (func(x[0])+func(x[n])) / 3;

// для подсчета h/3 * 4(y1+y3+...+y(n-1))

for (i = 1; i< (n - 1); i = i + 2)

       {

           S = S + h * 4 * func(x[i]) / 3;

}

// для подсчета h/3 * 2(y2+y4+...+y(n-2))

for (i = 2; i< (n - 2); i = i + 2)

       {

           S = S + h * 2 * func(x[i]) / 3;

}

return S;

   }

Контрольные вопросы

1. Особенности численного интегрирования.

2. Метод левых, правых и средних прямоугольников.

3. Метод трапеций.

4. Метод парабол.

5. Число участков разбиения и шаг интегрирования.

6. Способ повышения точности при численном интегрировании.