Глава 2. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений

К основным численным методам решения уравнений относятся такие методы, как метод половинного деления, метод простых итераций, метод касательных и метод хорд. Одним из основных численных методов является метод итераций, на принципах которого основаны остальные методы. Прежде чем использовать какой-либо численный метод, необходимо произвести отделение корней, т.е. определить количество корней в интересующей нас области и выделить достаточно малые интервалы, в каждом из которых заключен только один корень.

Условием существования корня непрерывной функции на интервале является

,

что говорит о том, что на данном интервале функция изменяет знак, т.е. пересекает ось

Метод половинного деления

Метод половинного деления (дихотомии, бисекции) является самым простым и надежным способом решений нелинейного решения. Метод реализуется следующим алгоритмом.

Пусть необходимо решить уравнение , где функция непрерывна на отрезке и единственный корень заключен в том же интервале. Разделим отрезок пополам и получим .

Вычислим значение функции в этой точке (рис.2.1) и проверим знак условия . Если знак условия положителен, то корень уравнения находится на отрезке и левая граница  интервала перемещается в точку ,т.е. . Если знак условия отрицателен, то корень уравнения находится на отрезке т.е. .

Далее продолжаем вышеописанные шаги, т.е. новый отрезок вновь делим пополам и производим новый выбор. Процесс повторяем до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше заданной точности .

 

Рис. 2.1. График функции

Число итераций при использовании этого метода значительно, и поэтому сходимость его медленная. Однако при любой ширине отрезка сходимость гарантирована. Кроме того, простота реализации метода уменьшает число вспомогательных операций и частично компенсирует невысокое быстродействие.

Метод простых итераций

Метод простых итераций является популярным способом численного решения математических задач. Его суть – нахождение алгоритма поиска по известному приближению (приближенному значению) искомой величины следующего, более точного приближения.

Метод реализуется следующим алгоритмом.

Пусть уравнение можно заменить эквивалентным ему уравнением

                                     (2.1)

Выберем на отрезке начальное приближение  и подставим его в правую часть уравнения (2.1). На этом шаге мы получим уточненное значение .Подставим теперь в уравнение (2.1) и получим новое приближение и т. д.

Продолжая этот процесс неограниченно, получим последовательность приближений к корню:

 

                  (2.2)

Процесс итераций сходится при условии .Это условие является необходимым и достаточным. При внезависимости  от выбора начального приближения процесс будет расходиться.

Для выбора начального приближения вычисляют значения первых производных функции в граничных точках интервала , содержащего корень, и за начальное приближение принимают тот конец интервала, для которого выполняется условие .

Геометрически способ простых итераций можно представить следующим образом. Построим графики двух функций:  и . Абсцисса точек пересечения этих графиков является корнем уравнения  (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Графики функций:  и

2.3. Метод касательных (Ньютона)

Метод касательных (Ньютона) является наиболее эффективным методом решения нелинейных уравнений. Метод основан на замене в точке начального приближения  касательной, пересечение которой с осью дает первое приближение x ₁и т.д. (рис. 2.3).

 

Рис. 2.3. График функции

Уравнение касательной, проходящей через точку , имеет вид

Первое пересечение получим, взяв абсциссу точки пересечения этой касательной с осью OX, т. е.

.

Аналогично поступаем с остальными точками и в результате получаем последовательность

Метод обеспечивает быструю (квадратичную) сходимость.

В качестве первого приближения выбирают тот конец отрезка , для которого выполняется условие

Это условие сходимости является достаточным, но необходимым, т.е. если условие выполняется, то итерационный процесс обязательно сойдется, а если не выполняется, то может или сойтись, или не сойтись.

 

 

Метод хорд

Метод хорд является итерационным численным методом приближённого нахождения корня уравнения. Метод реализуется следующим алгоритмом.

Пусть уравнение  имеет один корень на отрезке а первая и вторая производные функции определены, непрерывны и сохраняют постоянные знаки на этом интервале.

Рассмотрим геометрическое представление метода (рис. 2.4).

 

Рис. 2.4. График функции

Проведем хорду через точки A и B. В точке пересечения хорды с осью  находим значение функции  и получаем точку . Затем проводим новую хорду через точки  и  и т.д.

Уравнение прямой, проходящей через две точки  и , имеет вид

 

(2.3)

 

Из этого уравнения необходимо определить точку – это точка пересечения хорды с осью  Следовательно, в уравнении прямой

Один из концов отрезка  является подвижным (в нашем случае ), другой конец  – неподвижный. Условием сходимости итерационного процесса является правильный выбор подвижного и неподвижного концов. Обозначим подвижный конец интервала  неподвижный конец –

В качестве подвижного конца выбирается точка, для которой выполняется условие

 

Уравнение (2.3) можно записать в следующем виде:

 

 

Отсюда можно найти искомую точку , и это будет итерационной формулой метода:

 

.

Условие сходимости итерационного процесса является достаточным, но не необходимым.