Глава 7. Численное интегрирование

Во многих случаях, когда функция задана аналитически, определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона – Лейбница, которая состоит в том, что определенный интеграл равен приращению первообразной на отрезке интегрирования:

Однако на практике не всегда можно вычислить интеграл с помощью этой формулы. Основными причинами являются:

1. Невозможность выразить первообразную функцию через элементарные функции.

2. Первообразная вычисляется через элементарную функцию, но выражение довольно сложное для вычисления.

3. Функция выражена таблицей.

В случае, когда нельзя применить формулу Ньютона–Лейбница, обращаются к методам численного интегрирования.

Методы численного интегрирования основаны на аппроксимации подынтегральной функции некоторыми более простыми выражениями, т.е. подынтегральную функцию  заменяют другой приближенной функцией так, чтобы, во-первых, приближенная функция была близка к  и, во вторых, интеграл от нее легко вычислялся. Формулы численного интегрирования называются квадратурами.

Например, можно заменить подынтегральную функцию интерполяционным многочленом.

К методам численного интегрирования относят такие методы как: метод прямоугольников (левых, правых, средних), трапеций, парабол (метод Симпсона). Рассмотри каждый из методов подробнее.

 

Метод прямоугольников

Метод прямоугольников является одним из простейших методов. Данный метод использует замену определённого интеграла интегральной суммой. Формулу прямоугольников можно получить из геометрической интерпретации интеграла. Будем интерпретировать следующий интеграл:

как площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , осью абсцисс и прямыми и .

Разобьем отрезок ] на  равных частей длиной так что  При этом получим точки (рис.7.1).

 

;

 

 

Рис. 7.1. Разделение отрезка ] на участки

Заменим приближенно площадь криволинейной трапеции площадью ступенчатой фигуры, как показано на рис.7.2.

Рис. 7.2. Ступенчатая фигура

Эта фигура состоит из  прямоугольников. Основание n -го прямоугольника образует отрезок длины , тогда получим квадратурные формулы.

Для левых прямоугольников с постоянным шагом (рис.7.3).

 

Рис. 7.3 Иллюстрация метода левых прямоугольников

 

Для правых прямоугольников (рис.7.4):

 

Рис. 7.4. Геометрическая интерпретация правых метода

 

Более точной является формула прямоугольников, использующая функции в средних точках участков (рис.7.5):

Рис. 7.5. Иллюстрация метода средних прямоугольников

Метод трапеций

Метод трапеций использует линейную интерполяцию, т.е. график функции представляется в виде ломаной, соединяющей точки  В этом случае площадь всей фигуры складывается из площадей элементарных трапеций (рис. 7.6):

 

Рис. 7.6. Геометрическая интерпретация метода трапеций

Площадь каждой такой трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Складывая эти равенства, получим следующую формулу для вычислений:

 

Точность интегрирования зависит от степени многочлена, количества участков и расположение точек.

Во многих случаях формула средних прямоугольников дает лучшую точность, чем формула трапеций. Это на первый взгляд неожиданно, так как формула прямоугольников использует интерполяцию нулевого порядка, а формула трапеций – нелинейную. Здесь все дело в особом рассположении точек, которое повышает точность.

7.3. Метод парабол (Симпсона)

Метод парабол (Симпсона) подразумевает разбиение отрезка интегрирования , на четное число  равных частей с шагом . На каждом отрезке подынтегральную функцию заменяют многочленом второй степени, т.е. уравнением квадратичной параболы.

На каждом участке строится парабола, находится площадь фигуры, ограниченной полиномом 2–й степени и графиком подынтегральной функции. Далее находится сумма этих площадей.

В результате получим следующую формулу для вычислений:

 

Лабораторная работа 7