Сравнение методов решения дифференциального управления

Сравним время решения ДУ по каждому из методов.

Если мы уменьшим шаг  в два раза, то, поскольку метод Рунге–Кутта имеет порядок точности  погрешность уменьшится в 16 раз. Поскольку на каждом шаге правая часть уравнения вычисляется 4 раза, то количество вычислений увеличится в 8 раз. Чтобы уменьшить погрешность вычислений по методу Эйлера в 16 раз, необходимо уменьшить шаг в 16 раз, это значит, что в столько же раз увеличится количество вычислений правой части. Значит, для метода Рунге-Кутта потребуется в два раза меньше времени вычислений. Кроме того, при вычислении с шагом  точность решения методом Рунге – Кутта была выше, а при уменьшении шага в большее число раз получим еще больший выигрыш по времени вычислений.

Оба метода являются одношаговыми. Особенность таких методов состоит в том, что для получения решения в каждом новом расчетном узле достаточно иметь значение сеточной функции лишь в предыдущем узле. Это позволяет непосредственно начать счет при  по известным начальным значениям, что допускает изменение шага в любой точке в процессе расчета. Недостатком одношаговых методов является трудность выбора шага.

Лабораторная работа 8

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Цель работы: изучить методы Эйлера и Рунге-Кутта для решения обыкновенных дифференциальных уравнений и системы ОДУ, формулы для вычисления, написать программу на языке программирования для реализации данных методов.

Алгоритм метода Эйлера:

концы интервала;

шаг интегрирования;

 начальное условие;

правая часть уравнения.

Ввод ;

;

Начало цикла, условие

;

Печать

Конец цикла.

Алгоритм метода Эйлера для системы уравнений:

концы интервала;

шаг интегрирования;

Начальное условие: при ;

Ввод ;

;

Начало цикла, условие

;

;

;

;

Печать

Конец цикла.

Варианты заданий

Задание № 1. Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Вариант 1. Решить дифференциальное уравнение при начальных условиях  с шагом интегрирования  на интервале .

Вариант 2. Решить дифференциальное уравнение при начальных условиях с шагом интегрирования  на интервале .

Вариант 3. Решить дифференциальное уравнение при начальных условиях с шагом интегрирования  на интервале .

Вариант 4. Решить дифференциальное уравнение при начальных условиях с шагом интегрирования  на интервале .

Вариант 5. Решить дифференциальное уравнение при начальных условиях с шагом интегрирования  на интервале ].

Вариант 6. Решить дифференциальное уравнение при начальных условиях с шагом интегрирования  на интервале .

Вариант 7. Решить дифференциальное уравнение при начальных условиях с шагом интегрирования  на интервале .

Вариант 8. Решить дифференциальное уравнение при начальных условиях с шагом интегрирования  на интервале .

Вариант 9. Решить дифференциальное уравнение при начальных условиях с шагом интегрирования  на интервале .

Вариант 10. Решить дифференциальное уравнение при начальных условиях с шагом интегрирования  на интервале .

Задание № 2. Численное решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Вариант 1. Решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений с шагом интегрирования

 

 

Вариант 2. Решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений с шагом интегрирования

 

 

Вариант 3. Решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений с шагом интегрирования

 

 

Вариант 4. Решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений с шагом интегрирования

 

 

Вариант 5. Решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений с шагом интегрирования

Вариант 6. Решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений с шагом интегрирования

 

 

Вариант 7. Решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений с шагом интегрирования

 

 

Вариант 8. Решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений с шагом интегрирования

 

 

Вариант 9. Решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений с шагом интегрирования

 

 

Вариант 10. Решить систему обыкновенных дифферен-циальных уравнений с шагом интегрирования