Аппроксимация функций. Метод наименьших квадратов

Цель работы: изучить метод наименьших квадратов, линейную и квадратичную аппроксимации, алгоритм метода, формулы для вычисления, написать программу на языке программирования, реализующую линейную и квадратичную аппроксимации методом наименьших квадратов.

Ход решения для линейной аппроксимации:

1. Определить по выше описанным формулам.

2. Вычислить .

3. Задать любое значение и вывести на экран результаты: аппроксимирующую линейную функцию .

Ход решения для квадратичной аппроксимации:

1. Определить  по вышеописанным формулам.

2. Вычислить .

3. Задать любое значение и вывести на экран результаты: аппроксимирующую квадратичную функцию .

В формулу линейной и квадратичной аппроксимации можно подставить любое значение , вычислить значение аппроксимирующей функции и сравнить его с исходными данными.

Замечание. Результаты линейной и квадратичной аппроксимации должны быть приближенно равными.

Варианты заданий

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Вариант 5

Вариант 6

Вариант 7

	-1	0	1	2	3	4	5	6	7
	27	25	23	21	19	17	15	13	11

Вариант 8

	4	5,5	7,7	9,4	11,3	13,2	14,9	16,9
	15	11	7	3	-1	-5	-9	-13

 

Вариант 9

	1	4	17	23,3	31,3	39,3	47,3	55,3	63,3
	1,1	2,2	3,3	4,4	5,5	6,6	7,7	8,8	9,9

Вариант 10

	0	1	1,5	2	2,5	3	3,5	4	4,5	5
	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18

Реализация алгоритмов на языке C#. Для реализации алгоритмов линейной и квадратичной аппроксимаций необходимо произвести немного больше вычислений. Для удобства необходимо создать массив данных, представляющий собой набор элементов одного и того же типа объединённых общим именем. Как показано ниже, создадим фиксированный массив для ряда  и для ряда :

//создание массива

int n = 8;   

double[] x = new double[8] { 15, 12, 9, 6, 3, 0, -3, -6 };

double[] y = new double[8] { 1, 5.5, 11.5, 16.5, 21.75, 27, 32.25, 37.5 }.

Для линейной аппроксимации достаточно организовать всего один метод:

// функция для линейной аппроксимации

Static double fi(double a0, double a1, double x)

{

Return a0 + a1 * x;

   }

В основной части программы задаются начальные значения переменных, необходимых для реализации алгоритма, вычисляются значения неизвестных с помощью циклов с параметром FOR, и организуется вывод каждого значения  и функции

Console.WriteLine («\n Линейная аппроксимация: \n»);

double s1 = 0, s2 = 0, s3 = 0, s4 = 0;

// вычисление s1-s4

for (inti = 0; i<x.Length; i++)

       {

           s1 += x[i];

           s3 += Math.Pow(x[i], 2);

       }

for (inti = 0; i<y.Length; i++)

       {

           s2 += y[i];

           s4 += x[i] * y[i];

       }

// вычисление а0, a1

Double a0 = (s2۰s3 - s1۰s4) / (n۰s3 - Math.Pow(s1, 2));

Double a1 = (n۰s4 - s1۰s2) / (n۰s3 - Math.Pow(s1, 2));

// вывод на экран вычисленных значений

Console. WriteLine("s1= {0}, s2= {1}, s3= {2}, s4= {3}", s1, s2, s3, s4);

Console. WriteLine("a0= {0}, a1= {1}", a0, a1);

// вывод на экран значения функции

For (inti = 0; i<x.Length; i++)

       {

Console. WriteLine("x = " + x[i] + "\tf(x) = " + fi(a0, a1, x[i]));

}

Для квадратичной аппроксимации алгоритм решения задачи строится аналогичным образом. При этом значения  можно вычислить с помощью цикла с параметром:

for (inti = 0; i<x.Length; i++)

       {

           c4 += Math.Pow(x[i], 3);

           c6 += Math.Pow(x[i], 4);

           c7 = c7 + (x[i] * x[i] * y[i]);

       }

Поскольку мы решаем задачу согласно методу Крамера, то для вычисления каждой из дельт необходимо описать несколько дополнительных методов. Ниже представлен программный код методов вычисления  и , при этом нахождение остальных дельт осуществляется подобным образом.

static double delta(double c1, double c2, double c4, double c6)

   {

return 8 * (c2 * c6 - Math.Pow(c4, 2)) - c1 * (c1 * c6 - c2 * c4) + c2 *

* (c1 * c4 - Math.Pow(c2, 2));

   }

Static double delta1(double c1, double c2, double c3, double c4, double c5, doublec6, double c7)

   {

return (c3۰c2۰c6 + c5۰c4۰c2 + c7۰c1۰c4 - c2۰c2۰c7 –

–c4۰c4۰c3 - c6۰c1۰c5);

   }

Далее можно вычислить значения :

Double A0 = delta1 (c1, c2, c3, c4, c5, c6, c7) / delta (c1, c2, c4, c6);

Double A1 = delta2 (c1, c2, c3, c4, c5, c6, c7) / delta (c1, c2, c4, c6);

Double A2 = delta3 (c1, c2, c3, c4, c5, c6, c7) / delta (c1, c2, c4, c6).

Контрольные вопросы

1. Аппроксимация. Основная задача аппроксимации. Случаи ее применения.

2. Линейная аппроксимация. Квадратичная аппроксимация.

3. Функции, применяющиеся в качестве аппроксимирующих.

4. Преимущества и недостатки аппроксимации.

5. Способы повышения точности аппроксимации.

Глава 6. Интерполяция

Одним из типов аппроксимации является интерполяция. Если коэффициенты функции  определяются из условия равенства

,

т.е. функции совпадают в заданных известных точках, то такой способ аппроксимации называется интерполяцией или интерполированием. При этом точки называют узлами интерполяции, а функцию – интерполирующей функцией.

Интерполяционные кривые, которые строятся отдельно для разных частей заданного интервала изменения , называются кусочной  или локальной интерполяцией.

Если на всем интервале строится одна функция, то это глобальная интерполяция.

Многочлен Лагранжа.

В случае если не возникает необходимости иметь коэффициенты многочлена, а надо, лишь найти значения функции в промежуточных точках удобно использовать многочлен Лагранжа.

Пусть в точках заданы значения функции . Необходимо найти значение функции в любой промежуточной точке . Многочлен Лагранжа имеет вид:

 

 и будет искомым значение функции в точке . Формулу (6.1) можно записать в общем виде:

где  – число точек (пары ).

В итоге получим формулу Лагранжа. В эту формулу можно подставить любое значение , вычислить значение функции и сравнить его с исходными данными. Для повышения точности нужно увеличить количество узлов.