ТОП 10:

Глава1. Проблема аппроксимации



Глава1. Проблема аппроксимации

 

Полиномиальная апппроксимация

Постановка задачи

Из теорем математического анализа известно, что всякая непрерывная на отрезке [a;b] функция f(x) может быть хорошо приближена полиномом Pn(x).

Теорема Вейерштрасса:

Однако эта теорема не дает ответа на вопрос о существовании хорошего интерполяционного полинома для заданного множества точек {( xi , yi )}.

x x0 xn
y y0 yn

Пусть функция f(x) известна только в узлах некоторой сетки xi, т.е. задана таблицей: (xk≤xk+1)

 

 

Задача нахождения значений функции:

a) между узлами ( ) – задача интерполяции

б) вне узлов ( ) – задача экстраполяции

Теорема:

Для всякой дискретной функции f(x), заданной предыдущей таблицей существует многочлен Pn(x) степени n, совпадающий в узлах с этой функцией (Pn(xk)=yk ) и он единственен. (1)

Доказательство

Будем искать этот полином в виде: Pn(x)=a0+a1x+..+anxn.

Запишем условие (1) в виде системы:

(2)

Будем считать, что все узлы – разные, т.е xk< xk+1.

В данной системе неизвестные – ak. Определитель системы – отличный от нуля определитель Вандермонда:

Т.о. решение системы (2) существует, а значит существует многочлен Pn(x).

Докажем его единственность. Предположим противное: существует Qn(x):

. Тогда полином Pn(x)-Qn(x) равен 0 в (n+1) точке Pn(x)-Qn(x)≡0 Pn(x)≡Qn(x). Что и требовалось доказать.

 

ОпределениеПолином Pn(x) – интеполяционный полином для функции f(x).

 

Пример РунгеРассмотрим функцию f(x)= .

т.е. является аналитической функцией.

 

Рассмотрим на [-1;1] ее интерполяционный многочлен

(для значений по равномерным узлам): Pn(xk)= .

C возрастанием n многочлен также возрастает,

увеличивая аксиляции колебаний.

 

 

Интерполяционный полином в форме Лагранжа

Из системы (2) получим систему следующего вида:

(3)

Будем считать неизвестными a0,a1..an , -1.

Полученная система имеет (n+1) порядок. Ее нетривиальное решение из предыдущей теоремы существует, следовательно, ее определитель равен 0 (иначе решение (3) было бы нулевым).

Разложим этот определитель по последнему столбцу:

где - многочлены n-ой степени, .

 

 

Перпишем последнее равенство в виде:

где .

 

Заметим, что:

1) - многочлен n-ой степени

2)

3)

Следовательно, многочлен определяется единственным образом.

Рассмотрим следующий многочлен (n+1)ой степени:

Обозначим .

Заметим, что:

Т.о. = , т.е. интерполяционный полином имеет вид:

- интерполяционный полином Лагранжа

Погрешность интерполяции

Представим функцию f(x) в виде: f(x)=Pn(x)+Rn(x), где Rn(x) – погрешность интерполяции. Заметим, что Rn(x) зависит от свойств f(x) (так если f(x) линейна, то Rn(x)≡0 при n>2).

Будем считать априорно, что а

Запишем погрешность в виде: Rn(x)=kωn+1(x)+φ(x).

Тогда φ(x)=f(x)-Pn(x)- kωn+1(x) и φ(xk)=0, . (4)

Выберем k из условия φ(x’)=0, где x’ – точка, в которой оценивается погрешность:

Из уравнения φ(x’)=0 получим: .

При таком выборе k φ(x’) и обращается в ноль в (n+2) точках: x0…xn,x’.

Тогда по т. Ролля обращается в ноль в по крайней мере (n+1) точке. И т.д.

По т. Ролля имеет хотя бы один нуль. Т.е.

Т.о. из (4) получим:

.

Тогда , а значит , т.к. точка x’ была выбрана произвольно.

 

Интерполяционный полином в форме Ньютона

Рассматривается функция f(х), заданная дискретно в узлах х0...хn. Ставится задача её аппроксимации по этим данным.

Введём понятие разделённых разностей:

1-ого порядка -

2-ого порядка -

k-ого порядка -

нулевого порядка -

 

Тогда:

,

 

....................

....................

Из первого равенства получим:

 

Обозначим все слагаемые, кроме последнего как Рn(х), последнее - Rn(х).

Рn(х) – интерполяционный полином (т.к. он порядка n и совпадает в узлах с f(х)) Ньютона.

Следствие:

Аппроксимация сплайнами

Рассматривается задача приближения функции f(х) на некотором интервале по её значениям в узлах х0...хnk< хk+1

Кусочно-линейная функция, совпадающая в узлах с f(х) – линейный сплайн.

Обозначим разбиение {x0…xn} как Т.

 

Сплайн порядка m для функции f(х) по разбиению Т – кусочно-полиномиальная функция, если:

1) на каждом из отрезков [xk-1, xk] это многочлен m-ого порядка

2) в узлах совпадает с функцией f(х):

3) во внутренних узлах (х1...хn-1) эта функция непрерывна вместе со своими производными до (m-1)-ого порядка .

 

Построение сплайна

Обозначим многочлен, который необходимо найти на [xk-1, xk] как:

(m+1 коэффициент).

Из условия 2) для сплайна => (n+1) уравнение.

Из условия 3) => (n-1) уравнение для каждой из m функций.

Итого всего уравнений для сплайна: n+1+m(n-1)=n(m+1)+1-m

Всего неизвестных коэффициентов (m+1) для каждого из n отрезков, т.е. n(m+1).

Таким образом, число уравнений и искомых коэффициентов совпадает при m=1, иначе условий не хватает для нахождения коэффициентов, и требуются дополнительные условия.

 

Основные сплайны:

- 1-ого порядка – линейные;

- 2-ого порядка – кубические (m=3).

Для них 4n-2 уравнения и 4n коэффициентов.

В качестве двух дополнительных условий обычно задают значения производных в двух узлах.

Таким образом, функция f(х) может быть интерполирована на [x0, xn] сплайном заданного порядка.

 

 

Метод наименьших квадратов

Рассмотрим некоторую функцию . В полиномиальной аппроксимации она приближается по значениям в узлах х0...хn линейной комбинацией степеней хk (полиномом k-ой степени).

Таким образом, функцию f(х) на [a,b], заданную в узлах х0...хn можно аппроксимировать некоторыми функциями φk(k), общее число которых (р+1), р≠n.

Рассмотрим некоторые употребляемые частные случаи:

1) Полиномиальная задача:найти для функции f(х) такую линейную комбинацию функций φk: что их разность в некотором определенном смысле минимальна (в случае полиномиальной аппроксимации разность рассматривается в узлах).

Рассмотрим следующее выражение:

Необходимое условие минимума функции

Таким образом, получим следующую систему уравнений:

 

 

Или:

2) Континуальная задача:аппроксимировать функцию f(х) в С [a, b] в смысле средне квадратичного.

Обозначим

Необходимое условие экстремума имеет вид:

Получим систему:

Или:

т.к. - скалярное произведение φm на φk в L2 (а, b), то:

Определитель с матрицей А=(аkm), где аkm= (φk, φm) – определитель Грамма.

 

Заметим, что det А≠0, если система линейно независима, следовательно, наилучшее средне квадратичное приближение существует и притом единственно.

Рассмотрим подпространство (натянутое на функции φ0...φр в пространстве L2 (а, b)).

- проекция f(х) на Вр+1. Приэтом она существует единственно, если φk линейно независима.

 

 

Погрешность интерполяции.

Обозначим f(х):=Qn(х)+Rn(х).

Представим погрешность Rn в виде:

Отсюда, (1)

где S=0...Sk-1; φ(хk)=0; k=0, 1...m (т.е. хk – нули кратности S0...Sm соответственно).

Выберем k из условия φ(х')=0, где х' – точка, в которой оценивается погрешность

Из уравнения φ(х')=0 получим:

Будем предполагать, что Тогда при таком выборе К и обращается в ноль в (n+2) точках (считая кратность): х0...хm, х'.

Следовательно, по Т. Ролля φ'(х) обращается в ноль в по крайней мере (n+1) точке.

...........................................................................

Тогда, по Т. Ролля φ(n+1)(х) имеет хотя бы один нуль.

Т.е. существует g=g(х'): φ(n+1)(g)=0.

Из равенства (1) получим:

Отсюда,

Т.к. х' выбрано произвольно, то последнее равенство верно при

 

Задача Чебышева.

Обозначим:

Рn(x)=Pn(x,A), где А=(а0, а1...аn).

Необходимо определить μ=inf max |Pn(xk)-yk| и минимизирующий многочлен Pn(x,A), если он существует.

Задачи такого типа называют минимальными.

Предварительно рассмотрим систему:

В системе n+2 неизвестных: h, а0, а1...аn.

Докажем, что определитель системы Δ≠0.

Заметим, что:

а) sgn Δ0=sgn Δ1

Действительно, рассмотрим функцию q0(x):

- многочлен n-ого порядка с нулями

в х2, х3...хn+1

Отсюда, sgn q0(x0)=sgn q0(x1), т.к. точки промежутку знакопостоянства функции.

б) sgn Δ1 = sgn Δ2

Рассмотрим следующую функцию:

- многочлен n-ого порядка с нулями

в х0, х3...хn+1

Отсюда, sgn q1(x1)=sgn q1(x2). И т.д.

Таким образом, получим: Δ≠0, следовательно, решение системы существует. Обозначим его как Pn(x,A*).

 

Теорема Чебышева

Решение задачи Чебышева:

Определить:

минимизирующий многочлен Pn(x,A), если он существует.

Теорема:Такой многочлен сущестует и совпадает с решением системы

т.е. Pn(x,A)=Pn(x,A*).

Доказательство

Не ограничивая общности будем считать, что

Если это не так, рассмотрим функцию -f(х) в системе все уравнения умножим на (-1), тогда решением будет многочлен –Pn(x,A*).

Перепишем систему следующим образом:

.

Воспользуемся свойствами чисел αk:

При этом:

.

Однако μ>h, т.к. иначе получим h<h. Значит, μ=h. И для всякого k максимум разницы между Pn(x) и f(x) не может быть меньше.

 

Далее нетрудно доказать, что многочлены Pn(x,A*) и Pn(x,A0) равны.

Что и требовалось доказать.

 

ЗамечаниеМожно рассмотреть континуальный аналог задачи Чебышева. Необходимо найти для и минимизирующий многочлен Pn(x,A0), если он существует.

Этот многочлен есть решение дискретной задачи при некотором наборе узлов.

 

Многочлены Чебышева

Постановка задачи:

Для многочленов Pn(x,A) степени n co старшим коэффициентом, равным 1, требуется определить для и минимизирующий многочлен Pn(x,Amin), если это возможно.

Таким образом, рассматривается задача о многочленах со старшим коэффициентом, равным 1, наименее отклоняющихся от нуля.

 

Рассмотрим многочлены Чебышева:

 

Теорема Tn(x) – многочлены степени n со старшим коэффициентом, равным 1, методом математической индукции.

Доказательство

При n=1:

- многочлен 1ой степени.

При n=2:

Пусть утверждение верно . Докажем для n = k.

Заметим, что Tk-1(x) – многочлен степени k-1 по предположению, Tk-2(x) – многочлен степени (k-2). Таким образом, Tk(x) – многочлен степени k со старшим коэффициентом, равным 1.

Что и требовалось доказать.

 

Теорема (свойство четности)Все многочлены T2n(x) являются четными функциями, а T2n+1(x) – нечетными.

Доказательство

При n = 0: T0=1 – четная функция; T1=x – нечетная.

Пусть утверждение верно . Докажем его справедливость для n = k.

Заметим, что из предположения T2k-1 – нечетная функция, T2k-2 – четная.

Тогда - четная функция,

а - нечетная.

Что и требовалось доказать.

 

Нули многочленов Чебышева

Заметим, что:

.

Обозначим .

Тогда .

Т.к. .

- нули многочлена Чебышева Tn(x) на [-1;1].

При этом других нулей нет (т.к. многочлен nой степени имеет не более n нулей).

 

Экстремумы.

Рассмотрим локальные экстремумы Тn(x) на [-1;1].

Т.к. то точками экстремума для Тn(х) на [-1;1] будут точки, где

Следовательно, cos(n·arccosx) = ±1

n·arccosx = πk,

Обозначим где

Отсюда, .

Т.к. .

- экстреальные точки для Tn(x) на [-1;1].

 

 

Ортогональность с весом

Функции f(x) и g(x) ортогональны на [a;b] с весом ρ(x), если (ортогональность в смысле Гильбертова пространства L2 [a;b]).

Доказательство

Обозначим

Что и требовалось доказать.

Лемма

Tn(x) – многочлены со старшим коэффициентом равным еденице, наименее отклоняющиеся от нуля на [-1;1]. Т.е. если Pn(x) – многочлен степени n со старшим коэффициентом равным единице, то:

Доказательство

Предположим противное:

.

 

Обозначим как Qn(x) = Tn(x)-Pn(x).

Заметим, что многочлен Qn(x):

1)имеет (n-1) степень

2) , т.к. из предположения .

 

Таким образом, получено, что между каждыми двумя точками многочлен Qn(x) меняет свой знак. Т.е. многочлен Qn(x), отличный от нуля (т.к. он ≠0 в точках ) имеет n нулей, а значит Qn(x)≡0.

Противоречие доказывает требуемое.

 

 

Погрешность

При численном дифференцировании приходится вычитать друг из друга близкие значения функции. Это приводит к уничтожению первых значащих цифр, т.е. к потере части достоверных знаков числа.

 

Пусть значения функции известны с малой точностью ε. Ответим на вопрос: останется ли в решении исходной задачи хотьо один достоверный знак. Рассмотрим приближенное равенство: . При этом для достаточно гладких функций (погрешность первого порядка).

 

ρ определяет погрешность метода и неограниченно убывает при h→0. Но есть и неустранимая погрешность, связанная с погрешностью при вычислении функции f(x): . Она неограниченно возрастает при h→0.

Таким образом, полная погрешность не превосходит . А значит, оптимальным будет шаг метода, соответствующий минимуму g(h).

 

Меньший шаг невыгоден, а меньшая погрешность недостихима. Эта минимальная ошибка тем меньше, чем меньше погрешность входных данных.

 

 

Ортогональные матрицы

Ортогональные матрицы

Рассмотрим два ортонормированных базиса в пространстве Rn: . Т.е. .

Разложим вектора второго базиса по векторам первого:

Обозначим как U=(uik).

Рассмотрим скалярное произведение:

Таким образом, сумма Cik трактуется как произведение iой строки матрицы U на kый столбец матрицы UT. C другой стороны, из свойств ортонормированного базиса матрица C=(cik)=E.

Отсюда получим: UUT=E или UTU=E.

 

Из выведенных формул следуют равенства:

1) U-1 = UT (из определения обратной матрицы)

2)(Ux,Uy) = (x,y) для любых векторов x,y из Rn (т.е. скалярные произведения векторов и их образов относительно U совпадают).

Действительно, (Ux,Uy) = (UUTx,y) = (x,y)

3)Отсюда в частности следует: || x || = || Ux ||

Действительно, .

 

Матрица V, удовлетворяющая любому из этих трех равенств, ортогональная.Она обладает следующими свойствами:

1)переводит ортогональный базис в ортонормиррованный

2)сохраняет углы между векторами, а также их нормы

 

Первый шаг

Пусть λ1 – максимальное собственное число матрицы А, т.е. .

Обозначим как y1 – собственный вектор матрицы А, отвечающий λ1: || y1 ||=1.

Второй шаг

Обозначим как Ln-1 – подпространство, ортогональное подпространству, образованному вектором y1 (т.к. dim {y1}=1, то dim Ln-1=n-1).

 

Очевидно, что Ln-1 инвариантное подпространство для А (т.е. если , то ).

Действительно, пусть

Обозначим . Тогда из Леммы 2:

.

Т.о. y2 – собственный вектор матрицы А, ортогональный y1.

 

Третий шаг

Будем рассматривать далее подпространство , повторим указанные в шаге два рассуждения.

 

В итоге получим набор собственных векторов матрицы А {yk}: || yk ||=1, ортогональных друг другу, соответствующих собственным числам {λk}.

Обозначим матрицу собственных векторов как:

.

Получим систему: Y.

Очевидно, что У – ортогональная матрица, т.к. ее столбцы нормированны и ортогональны друг другу.

Тогда запишем систему в виде: YTAY=diag(λ1… λn) или A=Ydiag(λ1… λn)YT.

Геометрически это означает, что:

Всякая симметричная матрица может быть приведена к диагональному виду, т.е. в некотором базисе соответствующий оператор представляется диагональной матрицей, а значит его действие состоит в растягивании на величину λк соответствующего базисного вектора. Базис состоит из собственных векторов, т.е. диагональная матрица нетривиальна.

 

 

Сопряженная матрица

Рассмотрим вещественную матрицу A=(aij). Тогда сопряженная к ней в пространстве Rn матрица: A*=(a*ij)=AT.

В пространстве Rn A – линейный оператор; А* - сопряженный к нему.

Образ Im A – область значений оператора А: Im A= A(Rn).

Ядро ker A – множество элементов, обращаемых оператором А в ноль:

ker A={x | Ax=0}.

Im A, ker A – подпространства пространства Rn.

Задача: доказать указанное выше утверждение.

 

Лемма .

Доказательство

Im A – подпространство пространства Rn. Обозначим как L его ортогональное дополнение (множество всех элементов из Rn, ортогональных каждому элементу из Im A). Тогда . Докажем, что L=ker A.

Т.е. .

Т.е. .

Что и требовалось доказать.

 

 

Частная спектральная задача

Частная спектральная задача – задача нахождения некоторых собственных чисел матрицы и соответствующих собственных векторов.

 

Вариационный метод

Пусть А – симметричная матрица. Найдем её максимальное собственное число. Т.к. из ранее доказанного , то задача сводится к нахождению стационарных точек функционала .

Степенной метод

Для матрицы А предположим, что:

а) её собственные вектора φ1… φn образуют базис в Rn.

б) её собственные числа удовлетворяют неравенствам | λ1 |>| λk|, k=2..n.

Тогда всякий вектор х из Rn может быть представим в виде: .

Построим последовательность векторов:

x(1)=Ax, x(2)=Ax(1)…x(m)=Ax(m-1)=Amx.

Значит, . Преобразуем правую часть равенства:

при m>>1,

т.к. тогда .

Получим, что:

,

а - соответствующий собственный вектор

(т.к. он определяется с точностью до скалярного множителя).

Знак λ1 найдем из следующего равенства:

- знак находится по первой компоненте.

Точность метода: .

 

 

Метод максимизации столбцов

Пусть A=(akp) – вещственная, квадратная матрица порядка n.

Обозначим как ap – pый столбец матрицы.

Заметим, что ; .

 

Рассмотрим матрицу простого поворота Up:

u11 = upp= c =cosα, -up1 = u1p= -s = - sinα, остальные диагональные элементы равны 1, а недиагональные – нулю. Из ранее доказанного матрица Up осуществляет поворот на угол α против часовой стрелки.

 

Главное собственное число

 

Пусть А=(aij) – симметричная матрица. Метод максимизации столбцов дает следующее:

Перемножим равенства:

максимальное собственное число матрицы A2 (из метода максимизации).

λ=±b – главное собственное число симметричной матрицы А.

 

 

Метод вращения

Рассмотрим симметричную матрицу А=(аij). Обозначим ортогональную матрицу вращения Upq(α):

uqq = upp= c =cosα, -upq = uqp= -s = - sinα, остальные диагональные элементы равны 1, а недиагональные – нулю.

Рассморим вращение матрицы в плоскости Opq:

Матрица В=AUpq отличается от А столбцами bp и bq:

bp=c·ap+s·aq

bq= -s·ap+c·aq

bj=aj, j≠p,q

Матрица отличается от В р-ой и q-ой строками:

dpj=c·bpj+s·bqj

dqj= -s·bpj+c·bqj

Остальные строки не изменяют.

Тогда,

Разобьем S на диагональную и недиагональную части:

Заметим:

При элементарном вращении D недиагональные элементы аpi, aqi и аip, aiq (i≠p,q) меняются так, что попарные суммы квадратов их модулей сохраняются.

Кроме этих элементов вне диагонали меняется элемент аpq.

Т.е. величина S2 меняется при элементарном вращении настолько, насколько изменится |apq|2.

Будем подбирать вращения так, чтобы S2 максимально уменьшалась.

Положим dpq=0:

dpq=c·bpq+s·bqq=c(-s·app+c·apq)+s(-s·aq p+c·aqq)=

α выберем следующим образом:

1) при аpp cos2α=0 => α=π/4

2) иначе

 

 

Глава1. Проблема аппроксимации

 







Последнее изменение этой страницы: 2016-04-26; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.214.224.224 (0.073 с.)