Полиномиальная интерполяция с кратными узлами

Пусть дана дискретная функция f(х) в узлах х₀, х₁...х_m (х_k<х_k+1, ). А также заданы значения в узлах для производных функции f(х):

; S=0, 1...S_k-1. Причем

Требуется построить многочлен Q_n(х) n-ой степени, совпадающий в узлах со всеми этими значениями, т.е. получим систему:

Интерполяционный многочлен Q_n(х) определяется единственным образом. Действительно, предположим, что существует многочлен n-ой степени:

удовлетворяет условиям вышеописанной системы. Тогда их разность удовлетворяет следующим условиям:

Т.е. точки х₀...х_m – нули многочлена Р_n(х) кратности S₀...S_m соответственно. Получено: многочлен Р_n(х)≠0 степени n имеет n+1 нулей (из кратности). Отсюда, Р_n(х)≡0. Противоречие доказывает требуемое.

Таким образом, линейная алгебраическая система невырождена, и её решение находится единственным образом.

 

Погрешность интерполяции.

Обозначим f(х):=Q_n(х)+R_n(х).

Представим погрешность R_n в виде:

Отсюда, (1)

где S=0...S_k-1; φ(х_k)=0; k=0, 1...m (т.е. х_k – нули кратности S₀...S_m соответственно).

Выберем k из условия φ(х')=0, где х' – точка, в которой оценивается погрешность

Из уравнения φ(х')=0 получим:

Будем предполагать, что Тогда при таком выборе К и обращается в ноль в (n+2) точках (считая кратность): х₀...х_m, х'.

Следовательно, по Т. Ролля φ'(х) обращается в ноль в по крайней мере (n+1) точке.

...........................................................................

Тогда, по Т. Ролля φ⁽ⁿ⁺¹⁾(х) имеет хотя бы один нуль.

Т.е. существует g=g(х'): φ⁽ⁿ⁺¹⁾(g)=0.

Из равенства (1) получим:

Отсюда,

Т.к. х' выбрано произвольно, то последнее равенство верно при

 

Свойства разделенных разностей

Пусть задана дискретная функция f(х) в узлах х₀...х_n (х_k < х_k+1), а также её разделенная разность k-ого порядка:

Лемма: Справедливо равенство:

Доказательство (методом математической индукции):

При k=1:

Пусть верность равенства доказана при

Докажем для m-ого порядка:

Рассмотрим слагаемое для f(х₁):

Аналогично для остальных слагаемых.

Что и требовалось доказать.

 

Числа α_k. Пусть х_i<х_i+1 при

Обозначим:

Данные числа обладают следующими свойствами:

1. - очевидно

2. Действительно, т.к.

1)

2) Умножим на (-1)^n-i. Тогда знак числителя не зависит от i, значит знак каждого слагаемого такой же, отсюда, α_i>0.

3.

Действительно:

 

Из ранее доказанной Леммы:

Что и требовалось доказать.

 

Задача Чебышева. Разрешимость системы

Пусть f(х) задана дискретно в узлах х₀...х_n+1 значениями у₀...у_n+1 соответственно (х_i<x_i+1). Требуется построить многочлен Р_n(x), наилучшим образом аппроксимирующий в узлах значения функции.

Задача Чебышева.

Обозначим:

Р_n(x)=P_n(x,A), где А=(а₀, а₁...а_n).

Необходимо определить μ=inf max |P_n(x_k)-y_k| и минимизирующий многочлен P_n(x,A), если он существует.

Задачи такого типа называют минимальными.

Предварительно рассмотрим систему:

В системе n+2 неизвестных: h, а₀, а₁...а_n.

Докажем, что определитель системы Δ≠0.

Заметим, что:

а) sgn Δ₀=sgn Δ₁

Действительно, рассмотрим функцию q₀(x):

- многочлен n-ого порядка с нулями

в х₂, х₃...х_n+1

Отсюда, sgn q₀(x₀)=sgn q₀(x₁), т.к. точки промежутку знакопостоянства функции.

б) sgn Δ₁ = sgn Δ₂

Рассмотрим следующую функцию:

- многочлен n-ого порядка с нулями

в х₀, х₃...х_n+1

Отсюда, sgn q₁(x₁)=sgn q₁(x₂). И т.д.

Таким образом, получим: Δ≠0, следовательно, решение системы существует. Обозначим его как P_n(x,A*).

 

Теорема Чебышева

Решение задачи Чебышева:

Определить:

минимизирующий многочлен P_n(x,A), если он существует.

Теорема: Такой многочлен сущестует и совпадает с решением системы

т.е. P_n(x,A)=P_n(x,A*).

Доказательство

Не ограничивая общности будем считать, что

Если это не так, рассмотрим функцию -f(х) в системе все уравнения умножим на (-1), тогда решением будет многочлен –P_n(x,A*).

Перепишем систему следующим образом:

.

Воспользуемся свойствами чисел α_k:

При этом:

.

Однако μ>h, т.к. иначе получим h<h. Значит, μ=h. И для всякого k максимум разницы между P_n(x) и f(x) не может быть меньше.

 

Далее нетрудно доказать, что многочлены P_n(x,A^*) и P_n(x,A⁰) равны.

Что и требовалось доказать.

 

Замечание Можно рассмотреть континуальный аналог задачи Чебышева. Необходимо найти для и минимизирующий многочлен P_n(x,A⁰), если он существует.

Этот многочлен есть решение дискретной задачи при некотором наборе узлов.

 

Многочлены Чебышева

Постановка задачи:

Для многочленов P_n(x,A) степени n co старшим коэффициентом, равным 1, требуется определить для и минимизирующий многочлен P_n(x,A_min), если это возможно.

Таким образом, рассматривается задача о многочленах со старшим коэффициентом, равным 1, наименее отклоняющихся от нуля.

 

Рассмотрим многочлены Чебышева:

 

Теорема T_n(x) – многочлены степени n со старшим коэффициентом, равным 1, методом математической индукции.

Доказательство

При n=1:

- многочлен 1ой степени.

При n=2:

Пусть утверждение верно . Докажем для n = k.

Заметим, что T_k-1(x) – многочлен степени k-1 по предположению, T_k-2(x) – многочлен степени (k-2). Таким образом, T_k(x) – многочлен степени k со старшим коэффициентом, равным 1.

Что и требовалось доказать.

 

Теорема (свойство четности) Все многочлены T_2n(x) являются четными функциями, а T_2n+1(x) – нечетными.

Доказательство

При n = 0: T₀=1 – четная функция; T₁=x – нечетная.

Пусть утверждение верно . Докажем его справедливость для n = k.

Заметим, что из предположения T_2k-1 – нечетная функция, T_2k-2 – четная.

Тогда - четная функция,

а - нечетная.

Что и требовалось доказать.

 

Нули многочленов Чебышева

Заметим, что:

.

Обозначим .

Тогда .

Т.к. .

- нули многочлена Чебышева T_n(x) на [-1;1].

При этом других нулей нет (т.к. многочлен nой степени имеет не более n нулей).

 

Экстремумы.

Рассмотрим локальные экстремумы Т_n(x) на [-1;1].

Т.к. то точками экстремума для Т_n(х) на [-1;1] будут точки, где

Следовательно, cos(n·arccosx) = ±1

n·arccosx = πk,

Обозначим где

Отсюда, .

Т.к. .

- экстреальные точки для T_n(x) на [-1;1].

 

 

Ортогональность с весом

Функции f(x) и g(x) ортогональны на [a;b] с весом ρ(x), если (ортогональность в смысле Гильбертова пространства L₂ [a;b]).

Доказательство

Обозначим

Что и требовалось доказать.

Лемма

T_n(x) – многочлены со старшим коэффициентом равным еденице, наименее отклоняющиеся от нуля на [-1;1]. Т.е. если P_n(x) – многочлен степени n со старшим коэффициентом равным единице, то:

Доказательство

Предположим противное:

.

 

Обозначим как Q_n(x) = T_n(x)-P_n(x).

Заметим, что многочлен Q_n(x):

1)имеет (n-1) степень

2) , т.к. из предположения.

 

Таким образом, получено, что между каждыми двумя точками многочлен Q_n(x) меняет свой знак. Т.е. многочлен Q_n(x), отличный от нуля (т.к. он ≠0 в точках ) имеет n нулей, а значит Q_n(x)≡0.

Противоречие доказывает требуемое.