Вариационное свойство собственных значений

Матрица А неотрицательно определена, если .

Лемма Собственные числа неотрицательно определенной матрицы неотрицательны.

Доказательство

Пусть А – неотрицательно определенная матрица, λ₁ – её собственное число.

Тогда .

Т.к. .

Что и требовалось доказать.

Матрица А симметричная, если .

Лемма 1 Если А симметрична, неотрицательно определена и (Ay,y)=0, то Ay=0. Геометрически: А не может сделать вектор у ортогональным самому себе, а может лишь обратить его в ноль.

Доказательство

Рассмотрим выражение (A(y+tz),y+tz),

где z – произвольный вектор;

t – вещественное, малое число (t<<1).

Если бы (Ay,z)≠0, то знак всего выражения можно было бы сделать отрицательным, выбирая знак t, что противоречило бы условию неотрицательной определенности А.

Значит, (Ay,z)=0.

Т.к. элеент z выбирался произвольно, то Ay=0.

Что и требовалось доказать.

 

Рассмотрим выражение: .

Функция n переменных F(y)=(Ay,y) непрерывна на единичной сфере . Следовательно, по первой теореме Вейерштрасса F(y) достигает на S₁ своих точных граней. Это означает, что .

 

 

Лемма 2 (вариационное свойство) Если А – симметричная матрица, то - собственное число матрицы А.

Доказательство

Из приведенных выше рассуждений и достигается в некоторой точке .

Т.к. , то || y ||=1, а значит .

Получим: . (*)

Из выбора точку y’ верно: (Ay,y)≤λ₁ для любого вектора y из S₁.

Т.е. Последнее утверждение верно и для любого вектора x из пространства Rⁿ. Т.е. - неотрицательно определенная матрица.

Следовательно, из (*), используя Лемму 1, получим:

, т.е. λ₁ – собственное число матрицы А.

Что и требовалось доказать.

 

 

Приведение симметричной матрицы к диагональному виду

Из теорем алгебры:

Любое собственное число λ произвольной матрицы А равно скалярному произведению (Ax,x), где x – некоторый вектор: || x ||=1.

 

Первый шаг

Пусть λ₁ – максимальное собственное число матрицы А, т.е. .

Обозначим как y¹ – собственный вектор матрицы А, отвечающий λ₁: || y¹ ||=1.

Второй шаг

Обозначим как L_n-1 – подпространство, ортогональное подпространству, образованному вектором y¹ (т.к. dim {y¹}=1, то dim L_n-1=n-1).

 

Очевидно, что L_n-1 инвариантное подпространство для А (т.е. если , то ).

Действительно, пусть

Обозначим . Тогда из Леммы 2:

.

Т.о. y² – собственный вектор матрицы А, ортогональный y¹.

 

Третий шаг

Будем рассматривать далее подпространство , повторим указанные в шаге два рассуждения.

 

В итоге получим набор собственных векторов матрицы А {y^k}: || y^k ||=1, ортогональных друг другу, соответствующих собственным числам {λ_k}.

Обозначим матрицу собственных векторов как:

.

Получим систему: Y.

Очевидно, что У – ортогональная матрица, т.к. ее столбцы нормированны и ортогональны друг другу.

Тогда запишем систему в виде: Y^TAY=diag(λ₁… λ_n) или A=Ydiag(λ₁… λ_n)Y^T.

Геометрически это означает, что:

Всякая симметричная матрица может быть приведена к диагональному виду, т.е. в некотором базисе соответствующий оператор представляется диагональной матрицей, а значит его действие состоит в растягивании на величину λ_к соответствующего базисного вектора. Базис состоит из собственных векторов, т.е. диагональная матрица нетривиальна.

 

 

Сингулярное разложение матрицы

Пусть А – вещественная матрица. Тогда AA^T, A^TA – симметричные матрицы, а значит они могут быть приведены к диагональному виду.

Обозначим AA^T=UЛU^T, A^TA=VЛV^T,

где U,V – ортогональные матрицы, Л – диагональная.

 

Лемма Собственные числа матриц AA^T, A^TA равны и неотрицательны.

Доказательство

1. Пусть λ_i – некоторое собственное число матрицы A^TA.

Тогда . Умножим скалярно равенство на xⁱ:

2. Обозначим собственные числа матриц A^TA, AA^T соответственно.

Таким образом матрицы Л для AA^T, A^TA совпадают.

Что и требовалось доказать.

 

Заметим, что если матрица А невырожденная, то её собственные числа больше нуля.

 

Обозначим как Тогда:

.

Обратная к матрица имеет вид: .

Обозначим . Тогда:

.

Таким образом, получено: .

Умножим на B^-1 справа: .

 

Для всякой вещественной матрицы А существует её сингулярное разложение, т.е. представление в виде: A=USW,

где U,W – ортогональные матрицы, S=diag(s₁..s_n), s_i≥0, i=1..n.

 

Задача: Доказать, что - сингулярное разложение матрицы А.

 

 

Сопряженная матрица

Рассмотрим вещественную матрицу A=(a_ij). Тогда сопряженная к ней в пространстве Rⁿ матрица: A*=(a*_ij)=A^T.

В пространстве Rⁿ A – линейный оператор; А* - сопряженный к нему.

Образ Im A – область значений оператора А: Im A= A(Rⁿ).

Ядро ker A – множество элементов, обращаемых оператором А в ноль:

ker A={x | Ax=0}.

Im A, ker A – подпространства пространства Rⁿ.

Задача: доказать указанное выше утверждение.

 

Лемма .

Доказательство

Im A – подпространство пространства Rⁿ. Обозначим как L его ортогональное дополнение (множество всех элементов из Rⁿ, ортогональных каждому элементу из Im A). Тогда . Докажем, что L=ker A.

Т.е. .

Т.е. .

Что и требовалось доказать.

 

 

Частная спектральная задача

Частная спектральная задача – задача нахождения некоторых собственных чисел матрицы и соответствующих собственных векторов.

 

Вариационный метод

Пусть А – симметричная матрица. Найдем её максимальное собственное число. Т.к. из ранее доказанного , то задача сводится к нахождению стационарных точек функционала .

Степенной метод

Для матрицы А предположим, что:

а) её собственные вектора φ₁… φ_n образуют базис в Rⁿ.

б) её собственные числа удовлетворяют неравенствам | λ₁ |>| λ_k|, k=2..n.

Тогда всякий вектор х из Rⁿ может быть представим в виде: .

Построим последовательность векторов:

x⁽¹⁾=Ax, x⁽²⁾=Ax⁽¹⁾…x^(m)=Ax^(m-1)=A^mx.

Значит, . Преобразуем правую часть равенства:

при m>>1,

т.к. тогда .

Получим, что:

,

а - соответствующий собственный вектор

(т.к. он определяется с точностью до скалярного множителя).

Знак λ₁ найдем из следующего равенства:

- знак находится по первой компоненте.

Точность метода: .

 

 

Метод максимизации столбцов

Пусть A=(a_kp) – вещственная, квадратная матрица порядка n.

Обозначим как a_p – pый столбец матрицы.

Заметим, что ; .

 

Рассмотрим матрицу простого поворота U_p:

u₁₁ = u_pp= c =cosα, -u_p1 = u_1p= -s = - sinα, остальные диагональные элементы равны 1, а недиагональные – нулю. Из ранее доказанного матрица U_p осуществляет поворот на угол α против часовой стрелки.