ТОП 10:

Вариационное свойство собственных значений



Матрица А неотрицательно определена, если .

ЛеммаСобственные числа неотрицательно определенной матрицы неотрицательны.

Доказательство

Пусть А – неотрицательно определенная матрица, λ1 – её собственное число.

Тогда .

Т.к. .

Что и требовалось доказать.

Матрица А симметричная, если .

Лемма 1Если А симметрична, неотрицательно определена и (Ay,y)=0, то Ay=0. Геометрически: А не может сделать вектор у ортогональным самому себе, а может лишь обратить его в ноль.

Доказательство

Рассмотрим выражение (A(y+tz),y+tz),

где z – произвольный вектор;

t – вещественное, малое число (t<<1).

Если бы (Ay,z)≠0, то знак всего выражения можно было бы сделать отрицательным, выбирая знак t, что противоречило бы условию неотрицательной определенности А.

Значит, (Ay,z)=0.

Т.к. элеент z выбирался произвольно, то Ay=0.

Что и требовалось доказать.

 

Рассмотрим выражение: .

Функция n переменных F(y)=(Ay,y) непрерывна на единичной сфере . Следовательно, по первой теореме Вейерштрасса F(y) достигает на S1 своих точных граней. Это означает, что .

 

 

Лемма 2 (вариационное свойство)Если А – симметричная матрица, то - собственное число матрицы А.

Доказательство

Из приведенных выше рассуждений и достигается в некоторой точке .

Т.к. , то || y ||=1, а значит .

Получим: . (*)

Из выбора точку y’ верно: (Ay,y)≤λ1 для любого вектора y из S1.

Т.е. Последнее утверждение верно и для любого вектора x из пространства Rn. Т.е. - неотрицательно определенная матрица.

Следовательно, из (*), используя Лемму 1, получим:

, т.е. λ1 – собственное число матрицы А.

Что и требовалось доказать.

 

 

Приведение симметричной матрицы к диагональному виду

Из теорем алгебры:

Любое собственное число λ произвольной матрицы А равно скалярному произведению (Ax,x), где x – некоторый вектор: || x ||=1.

 

Первый шаг

Пусть λ1 – максимальное собственное число матрицы А, т.е. .

Обозначим как y1 – собственный вектор матрицы А, отвечающий λ1: || y1 ||=1.

Второй шаг

Обозначим как Ln-1 – подпространство, ортогональное подпространству, образованному вектором y1 (т.к. dim {y1}=1, то dim Ln-1=n-1).

 

Очевидно, что Ln-1 инвариантное подпространство для А (т.е. если , то ).

Действительно, пусть

Обозначим . Тогда из Леммы 2:

.

Т.о. y2 – собственный вектор матрицы А, ортогональный y1.

 

Третий шаг

Будем рассматривать далее подпространство , повторим указанные в шаге два рассуждения.

 

В итоге получим набор собственных векторов матрицы А {yk}: || yk ||=1, ортогональных друг другу, соответствующих собственным числам {λk}.

Обозначим матрицу собственных векторов как:

.

Получим систему: Y.

Очевидно, что У – ортогональная матрица, т.к. ее столбцы нормированны и ортогональны друг другу.

Тогда запишем систему в виде: YTAY=diag(λ1… λn) или A=Ydiag(λ1… λn)YT.

Геометрически это означает, что:

Всякая симметричная матрица может быть приведена к диагональному виду, т.е. в некотором базисе соответствующий оператор представляется диагональной матрицей, а значит его действие состоит в растягивании на величину λк соответствующего базисного вектора. Базис состоит из собственных векторов, т.е. диагональная матрица нетривиальна.

 

 

Сингулярное разложение матрицы

Пусть А – вещественная матрица. Тогда AAT, ATA – симметричные матрицы, а значит они могут быть приведены к диагональному виду.

Обозначим AAT=UЛUT, ATA=VЛVT,

где U,V – ортогональные матрицы, Л – диагональная.

 

ЛеммаСобственные числа матриц AAT, ATA равны и неотрицательны.

Доказательство

1. Пусть λi – некоторое собственное число матрицы ATA.

Тогда . Умножим скалярно равенство на xi:

2. Обозначим собственные числа матриц ATA, AAT соответственно.

Таким образом матрицы Л для AAT, ATA совпадают.

Что и требовалось доказать.

 

Заметим, что если матрица А невырожденная, то её собственные числа больше нуля.

 

Обозначим как Тогда:

.

Обратная к матрица имеет вид: .

Обозначим . Тогда:

.

Таким образом, получено: .

Умножим на B-1 справа: .

 

Для всякой вещественной матрицы А существует её сингулярное разложение, т.е. представление в виде: A=USW,

где U,W – ортогональные матрицы, S=diag(s1..sn), si≥0, i=1..n.

 

Задача: Доказать, что - сингулярное разложение матрицы А.

 

 

Сопряженная матрица

Рассмотрим вещественную матрицу A=(aij). Тогда сопряженная к ней в пространстве Rn матрица: A*=(a*ij)=AT.

В пространстве Rn A – линейный оператор; А* - сопряженный к нему.

Образ Im A – область значений оператора А: Im A= A(Rn).

Ядро ker A – множество элементов, обращаемых оператором А в ноль:

ker A={x | Ax=0}.

Im A, ker A – подпространства пространства Rn.

Задача: доказать указанное выше утверждение.

 

Лемма .

Доказательство

Im A – подпространство пространства Rn. Обозначим как L его ортогональное дополнение (множество всех элементов из Rn, ортогональных каждому элементу из Im A). Тогда . Докажем, что L=ker A.

Т.е. .

Т.е. .

Что и требовалось доказать.

 

 

Частная спектральная задача

Частная спектральная задача – задача нахождения некоторых собственных чисел матрицы и соответствующих собственных векторов.

 

Вариационный метод

Пусть А – симметричная матрица. Найдем её максимальное собственное число. Т.к. из ранее доказанного , то задача сводится к нахождению стационарных точек функционала .

Степенной метод

Для матрицы А предположим, что:

а) её собственные вектора φ1… φn образуют базис в Rn.

б) её собственные числа удовлетворяют неравенствам | λ1 |>| λk|, k=2..n.

Тогда всякий вектор х из Rn может быть представим в виде: .

Построим последовательность векторов:

x(1)=Ax, x(2)=Ax(1)…x(m)=Ax(m-1)=Amx.

Значит, . Преобразуем правую часть равенства:

при m>>1,

т.к. тогда .

Получим, что:

,

а - соответствующий собственный вектор

(т.к. он определяется с точностью до скалярного множителя).

Знак λ1 найдем из следующего равенства:

- знак находится по первой компоненте.

Точность метода: .

 

 

Метод максимизации столбцов

Пусть A=(akp) – вещственная, квадратная матрица порядка n.

Обозначим как ap – pый столбец матрицы.

Заметим, что ; .

 

Рассмотрим матрицу простого поворота Up:

u11 = upp= c =cosα, -up1 = u1p= -s = - sinα, остальные диагональные элементы равны 1, а недиагональные – нулю. Из ранее доказанного матрица Up осуществляет поворот на угол α против часовой стрелки.

 







Последнее изменение этой страницы: 2016-04-26; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.229.118.253 (0.016 с.)