Полиномиальная апппроксимация

Постановка задачи

Из теорем математического анализа известно, что всякая непрерывная на отрезке [a;b] функция f(x) может быть хорошо приближена полиномом P_n(x).

Теорема Вейерштрасса:

Однако эта теорема не дает ответа на вопрос о существовании хорошего интерполяционного полинома для заданного множества точек {(x_i, y_i)}.

x	x0	…	xn
y	y0	…	yn

Пусть функция f(x) известна только в узлах некоторой сетки x_i, т.е. задана таблицей: (x_k≤x_k+1)

 

 

Задача нахождения значений функции:

a) между узлами () – задача интерполяции

б) вне узлов () – задача экстраполяции

Теорема:

Для всякой дискретной функции f(x), заданной предыдущей таблицей существует многочлен P_n(x) степени n, совпадающий в узлах с этой функцией (P_n(x_k)=y_k ) и он единственен. (1)

Доказательство

Будем искать этот полином в виде: P_n(x)=a₀+a₁x+..+a_nxⁿ.

Запишем условие (1) в виде системы:

(2)

Будем считать, что все узлы – разные, т.е x_k< x_k+1.

В данной системе неизвестные – a_k. Определитель системы – отличный от нуля определитель Вандермонда:

Т.о. решение системы (2) существует, а значит существует многочлен P_n(x).

Докажем его единственность. Предположим противное: существует Q_n(x):

. Тогда полином P_n(x)-Q_n(x) равен 0 в (n+1) точке P_n(x)-Q_n(x)≡0 P_n(x)≡Q_n(x). Что и требовалось доказать.

 

Определение Полином P_n(x) – интеполяционный полином для функции f(x).

 

Пример Рунге Рассмотрим функцию f(x)= .

т.е. является аналитической функцией.

 

Рассмотрим на [-1;1] ее интерполяционный многочлен

(для значений по равномерным узлам): P_n(x_k)= .

C возрастанием n многочлен также возрастает,

увеличивая аксиляции колебаний.

 

 

Интерполяционный полином в форме Лагранжа

Из системы (2) получим систему следующего вида:

(3)

Будем считать неизвестными a₀,a₁..a_n, -1.

Полученная система имеет (n+1) порядок. Ее нетривиальное решение из предыдущей теоремы существует, следовательно, ее определитель равен 0 (иначе решение (3) было бы нулевым).

Разложим этот определитель по последнему столбцу:

где - многочлены n-ой степени, .

 

 

Перпишем последнее равенство в виде:

где .

 

Заметим, что:

1) - многочлен n-ой степени

2)

3)

Следовательно, многочлен определяется единственным образом.

Рассмотрим следующий многочлен (n+1)ой степени:

Обозначим .

Заметим, что:

Т.о. = , т.е. интерполяционный полином имеет вид:

- интерполяционный полином Лагранжа

Погрешность интерполяции

Представим функцию f(x) в виде: f(x)=P_n(x)+R_n(x), где R_n(x) – погрешность интерполяции. Заметим, что R_n(x) зависит от свойств f(x) (так если f(x) линейна, то R_n(x)≡0 при n>2).

Будем считать априорно, что а

Запишем погрешность в виде: R_n(x)=kω_n+1(x)+φ(x).

Тогда φ(x)=f(x)-P_n(x)- kω_n+1(x) и φ(x_k)=0, . (4)

Выберем k из условия φ(x’)=0, где x’ – точка, в которой оценивается погрешность:

Из уравнения φ(x’)=0 получим: .

При таком выборе k φ(x’) и обращается в ноль в (n+2) точках: x₀…x_n,x’.

Тогда по т. Ролля обращается в ноль в по крайней мере (n+1) точке. И т.д.

По т. Ролля имеет хотя бы один нуль. Т.е.

Т.о. из (4) получим:

.

Тогда , а значит , т.к. точка x’ была выбрана произвольно.

 

Интерполяционный полином в форме Ньютона

Рассматривается функция f(х), заданная дискретно в узлах х₀...х_n. Ставится задача её аппроксимации по этим данным.

Введём понятие разделённых разностей:

1-ого порядка -

2-ого порядка -

k-ого порядка -

нулевого порядка -

 

Тогда:

,

 

....................

....................

Из первого равенства получим:

 

Обозначим все слагаемые, кроме последнего как Р_n(х), последнее - R_n(х).

Р_n(х) – интерполяционный полином (т.к. он порядка n и совпадает в узлах с f(х)) Ньютона.

Следствие:

Аппроксимация сплайнами

Рассматривается задача приближения функции f(х) на некотором интервале по её значениям в узлах х₀...х_n (х_k< х_k+1

Кусочно-линейная функция, совпадающая в узлах с f(х) – линейный сплайн.

Обозначим разбиение {x₀…x_n} как Т.

 

Сплайн порядка m для функции f(х) по разбиению Т – кусочно-полиномиальная функция, если:

1) на каждом из отрезков [x_k-1, x_k] это многочлен m-ого порядка

2) в узлах совпадает с функцией f(х):

3) во внутренних узлах (х₁...х_n-1) эта функция непрерывна вместе со своими производными до (m-1)-ого порядка .

 

Построение сплайна

Обозначим многочлен, который необходимо найти на [x_k-1, x_k] как:

(m+1 коэффициент).

Из условия 2) для сплайна => (n+1) уравнение.

Из условия 3) => (n-1) уравнение для каждой из m функций.

Итого всего уравнений для сплайна: n+1+m(n-1)=n(m+1)+1-m

Всего неизвестных коэффициентов (m+1) для каждого из n отрезков, т.е. n(m+1).

Таким образом, число уравнений и искомых коэффициентов совпадает при m=1, иначе условий не хватает для нахождения коэффициентов, и требуются дополнительные условия.

 

Основные сплайны:

- 1-ого порядка – линейные;

- 2-ого порядка – кубические (m=3).

Для них 4n-2 уравнения и 4n коэффициентов.

В качестве двух дополнительных условий обычно задают значения производных в двух узлах.

Таким образом, функция f(х) может быть интерполирована на [x₀, x_n] сплайном заданного порядка.

 

 

Метод наименьших квадратов

Рассмотрим некоторую функцию . В полиномиальной аппроксимации она приближается по значениям в узлах х₀...х_n линейной комбинацией степеней х_k (полиномом k-ой степени).

Таким образом, функцию f(х) на [a,b], заданную в узлах х₀...х_n можно аппроксимировать некоторыми функциями φ_k(k), общее число которых (р+1), р≠n.

Рассмотрим некоторые употребляемые частные случаи:

1) Полиномиальная задача: найти для функции f(х) такую линейную комбинацию функций φ_k: что их разность в некотором определенном смысле минимальна (в случае полиномиальной аппроксимации разность рассматривается в узлах).

Рассмотрим следующее выражение:

Необходимое условие минимума функции

Таким образом, получим следующую систему уравнений:

 

 

Или:

2) Континуальная задача: аппроксимировать функцию f(х) в С [a, b] в смысле средне квадратичного.

Обозначим

Необходимое условие экстремума имеет вид:

Получим систему:

Или:

т.к. - скалярное произведение φ_m на φ_k в L₂ (а, b), то:

Определитель с матрицей А=(а_km), где а_km= (φ_k, φ_m) – определитель Грамма.

 

Заметим, что det А≠0, если система линейно независима, следовательно, наилучшее средне квадратичное приближение существует и притом единственно.

Рассмотрим подпространство (натянутое на функции φ₀...φ_р в пространстве L₂ (а, b)).

- проекция f(х) на В_р+1. Приэтом она существует единственно, если φ_k линейно независима.