Геометрическая аппроксимация заданной области (1-й этап мкэ)

МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

 

МКЭ – это численный метод решения дифференциальных уравнений, сводящий дифференциальную задачу к системе линейных алгебраических уравнений на основе геометрической аппроксимации заданной области. МКЭ состоит из двух этапов: 1) геометрическая аппроксимация заданной области, 2) сведение на основе этапа 1 дифференциальной задачи к системе линейных алгебраических уравнений.

МКЭ возник в связи с решением задач космических исследований в 50е годы XX столетия. С помощью МКЭ также решаются задачи распространения тепла, течения жидкостей, строительной механики и т.д.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ЗАДАННОЙ ОБЛАСТИ (1-й этап МКЭ)

1. В заданной области, на которой определяется искомая величина, фиксируются точки – узлы будущей сетки. Значения искомой величины в узлах изначально неизвестны, и их определение является конечной целью решения дифференциальной задачи в МКЭ.

2. На основе выбранных узлов заданная область разбивается на подобласти, называемые элементами. Элементы в совокупности аппроксимируют форму области; при этом соседние элементы должны иметь общие узлы.

3. Искомая величина аппроксимируется на каждом элементе полиномом, называемым функцией элемента и определяемым с помощью узлов элемента.

Т.о., любая непрерывная величина (температура, давление, концентрация) будет аппроксимирована дискретной моделью, состоящей из множества кусочно-непрерывных функций, каждая из которых описывает свой элемент.

Преимущества и недостатки МКЭ

Преимущества МКЭ.

1. МКЭ позволяет рассчитать приближённые значения искомой величины не только в узлах, но и в любой произвольной точке области (в отличие от метода разностных схем).

2. МКЭ позволяет задать аппроксимацию области с помощью криволинейных элементов, поэтому возможен расчёт областей сложной геометрической формы.

3. МКЭ позволяет задавать неравномерную сетку разбиения области на элементы, т.е. варьировать размеры элементов при необходимости.

4. Свойства материалов и толщина соседних элементов не должны быть одинаковыми, поэтому возможен расчёт сложных конструкций, составленных из разных материалов.

5. Возможно использование граничных условий с разрывной поверхностной нагрузкой.

Недостатки МКЭ.

1. Сложность математического обоснования.

2. Большое количество математических выкладок для получения конечного результата.

3. МКЭ предназначен для решения, главным образом, стационарных задач; решение нестационарных задач с помощью МКЭ представляет собой отдельную сложность.

 

Одномерные элементы

Вид	Число узлов	Тип функции элемента φ(x)	Кривизна	Тип элемента
всего	на концах	посередине
			–	Линейная	–	СЭ
				Квадратичная	Возможна	КЭ
				Кубическая	Возможна	КЭ

 

Двумерные элементы

Вид	Число узлов	Тип функции элемента φ(х, y)	Кривизна границ	Тип элемента
всего	в вершинах	на гранях	внутри
Треугольники
			–	–	Линейная	–	СЭ
				–	Квадратичная	Возможна	КЭ
					Кубическая	Возможна	КЭ
Четырёхугольники
			–	–	Линейная по x и y, но содержащая мультиплекс-член xy	–	МЭ
				–	Квадратичная по x и y, но содержащая мультиплекс-члены x ^2 y и xy ^2	Возможна	МЭ

Размеры элементов

МКЭ допускает возможность варьирования размеров элементов. Уменьшение размеров элементов в некоторой части области может быть вызвано:

1) наличием криволинейной границы области,

2) наличием больших градиентов искомой величины.

ОДНОМЕРНЫЙ СИМПЛЕКС-ЭЛЕМЕНТ

Одномерный СЭ представляет собой отрезок длины L с двумя узлами, расположенными на концах отрезка. Значения искомой величины в узлах обозначаем Ф₁ и Ф₂, значения в узлах координаты х, направленной вдоль элемента, – Х ₁ и Х ₂. Элемент описывается полиномом

коэффициенты которого могут быть определены с помощью узловых значений

Подставляя их в выражение полинома, получаем:

Таким образом, полином одномерного СЭ можно представить в виде:

(1)

Соотношение (1) позволяет рассчитать приближённое значение искомой величины φ в любой точке элемента при известных узловых значениях Ф₁ , Ф₂.

Введём обозначения:

Функции N ₁ и N ₂ называют функциями формы. Каждая функция формы равна 1 в узле, к которому она относится, и равна 0 в другом узле:

Используя функции формы, запишем выражение (1) в виде:

(2)

Отметим, что функция элемента любого типа может быть представлена в данном виде.

 

ВТОРОЙ ЭТАП МКЭ

Результатом 1-го этапа МКЭ будет геометрическая аппроксимация заданной области, т.е. задание узловых точек, элементов и описание искомой функции внутри каждого элемента с помощью функции элемента. Уравнение функции элемента любого типа можно представить в виде:

где функции формы содержат все особенности геометрии элемента, а узловые значения – неизвестные константы, определение которых является целью 2-го этапа МКЭ.

Суть 2-го этапа МКЭ заключается в сведении исходной дифференциальной задачи к системе линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений, в результате решения которой последние и будут найдены. Для этого используются разные методы, одним из которых является метод минимизации функционала, связанного с дифференциальным уравнением.

Функционал – это функция, областью определения которой служит множество других функций. Вариация – это дифференциал функционала (обозначается символом δ).

Рассмотрим функционал

Здесь F – некая функция внутреннего состояния системы, зависящая от x, y, z, φ, ; G – функция внешней нагрузки на систему, которая может быть обусловлена массообменом и теплообменом с окружающей средой, а также воздействием сил различной природы на определённые точки границы области. Функционал I является определённым интегралом, поэтому при подстановке конкретных функций F и G он примет некоторое числовое значение.

Основная задача вариационного исчисления состоит в том, чтобы найти такие функции F и G, чтобы при произвольном бесконечно малом их изменении величина функционала I оставалась постоянной:

Можно доказать, что это условие соответствует дифференциальному уравнению и граничным условиям относительно функций F и G:

где l_i – косинус угла, образованного нормалью к поверхности и i -й осью.

 

Постановка задачи

 

Рассмотрим стержень длиной L с теплоизолированной боковой поверхностью, один из концов которого закреплён в стене. Площадь поперечного сечения стержня А постоянна. К закреплённому концу стержня подводится тепловой поток q. На свободном конце стержня происходит конвективный теплообмен с окружающей средой. Распределение температуры в стержне описывается дифференциальным уравнением

с граничными условиями

Здесь K – коэффициент теплопроводности материала стержня; тепловой поток q считается положительным, если тепло отводится от стержня в стену.

МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

 

МКЭ – это численный метод решения дифференциальных уравнений, сводящий дифференциальную задачу к системе линейных алгебраических уравнений на основе геометрической аппроксимации заданной области. МКЭ состоит из двух этапов: 1) геометрическая аппроксимация заданной области, 2) сведение на основе этапа 1 дифференциальной задачи к системе линейных алгебраических уравнений.

МКЭ возник в связи с решением задач космических исследований в 50е годы XX столетия. С помощью МКЭ также решаются задачи распространения тепла, течения жидкостей, строительной механики и т.д.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ЗАДАННОЙ ОБЛАСТИ (1-й этап МКЭ)

1. В заданной области, на которой определяется искомая величина, фиксируются точки – узлы будущей сетки. Значения искомой величины в узлах изначально неизвестны, и их определение является конечной целью решения дифференциальной задачи в МКЭ.

2. На основе выбранных узлов заданная область разбивается на подобласти, называемые элементами. Элементы в совокупности аппроксимируют форму области; при этом соседние элементы должны иметь общие узлы.

3. Искомая величина аппроксимируется на каждом элементе полиномом, называемым функцией элемента и определяемым с помощью узлов элемента.

Т.о., любая непрерывная величина (температура, давление, концентрация) будет аппроксимирована дискретной моделью, состоящей из множества кусочно-непрерывных функций, каждая из которых описывает свой элемент.