Преимущества и недостатки МКЭ

Преимущества МКЭ.

1. МКЭ позволяет рассчитать приближённые значения искомой величины не только в узлах, но и в любой произвольной точке области (в отличие от метода разностных схем).

2. МКЭ позволяет задать аппроксимацию области с помощью криволинейных элементов, поэтому возможен расчёт областей сложной геометрической формы.

3. МКЭ позволяет задавать неравномерную сетку разбиения области на элементы, т.е. варьировать размеры элементов при необходимости.

4. Свойства материалов и толщина соседних элементов не должны быть одинаковыми, поэтому возможен расчёт сложных конструкций, составленных из разных материалов.

5. Возможно использование граничных условий с разрывной поверхностной нагрузкой.

Недостатки МКЭ.

1. Сложность математического обоснования.

2. Большое количество математических выкладок для получения конечного результата.

3. МКЭ предназначен для решения, главным образом, стационарных задач; решение нестационарных задач с помощью МКЭ представляет собой отдельную сложность.

 

Одномерные элементы

Вид	Число узлов	Тип функции элемента φ(x)	Кривизна	Тип элемента
всего	на концах	посередине
			–	Линейная	–	СЭ
				Квадратичная	Возможна	КЭ
				Кубическая	Возможна	КЭ

 

Двумерные элементы

Вид	Число узлов	Тип функции элемента φ(х, y)	Кривизна границ	Тип элемента
всего	в вершинах	на гранях	внутри
Треугольники
			–	–	Линейная	–	СЭ
				–	Квадратичная	Возможна	КЭ
					Кубическая	Возможна	КЭ
Четырёхугольники
			–	–	Линейная по x и y, но содержащая мультиплекс-член xy	–	МЭ
				–	Квадратичная по x и y, но содержащая мультиплекс-члены x ^2 y и xy ^2	Возможна	МЭ

Размеры элементов

МКЭ допускает возможность варьирования размеров элементов. Уменьшение размеров элементов в некоторой части области может быть вызвано:

1) наличием криволинейной границы области,

2) наличием больших градиентов искомой величины.

Классификация элементов по порядку функции элемента

В качестве функции элемента задаётся полином, имеющий столько же коэффициентов, сколько узлов у элемента. В зависимости от порядка полинома выделяют 3 группы элементов.

1. Симплекс-элементы описываются полиномами, содержащими константу и линейные члены. Например, двумерный треугольный СЭ описывается полиномом

содержащим 3 коэффициента, что соответствует трём узлам треугольника.

2. Комплекс-элементы описываются полиномами, содержащими константу, линейные члены и члены более высоких порядков. Форма КЭ может быть такой же, как и у СЭ, но КЭ имеют дополнительные узлы. Так, двумерный треугольный КЭ описывается полиномом

содержащим 6 коэффициентов, что соответствует 6 узлам элемента: 3 узла в вершинах треугольника и 3 узла на его сторонах.

3. Мультиплекс-элементы описываются полиномами, содержащими константу, линейные члены и мультиплекс-члены (xy или xyz). Пример МЭ – двумерный прямоугольный элемент, описываемый полиномом, содержащим 4 коэффициента, что соответствует четырём узлам прямоугольника:

ОДНОМЕРНЫЙ СИМПЛЕКС-ЭЛЕМЕНТ

Одномерный СЭ представляет собой отрезок длины L с двумя узлами, расположенными на концах отрезка. Значения искомой величины в узлах обозначаем Ф₁ и Ф₂, значения в узлах координаты х, направленной вдоль элемента, – Х ₁ и Х ₂. Элемент описывается полиномом

коэффициенты которого могут быть определены с помощью узловых значений

Подставляя их в выражение полинома, получаем:

Таким образом, полином одномерного СЭ можно представить в виде:

(1)

Соотношение (1) позволяет рассчитать приближённое значение искомой величины φ в любой точке элемента при известных узловых значениях Ф₁ , Ф₂.

Введём обозначения:

Функции N ₁ и N ₂ называют функциями формы. Каждая функция формы равна 1 в узле, к которому она относится, и равна 0 в другом узле:

Используя функции формы, запишем выражение (1) в виде:

(2)

Отметим, что функция элемента любого типа может быть представлена в данном виде.