Плоские электромагнитные волны в однородной изотропной среде без потерь.

Будем рассматривать свободные (существующие без сторонних источников) гармонические колебания электромагнитного поля в однородной изотропной среде без потерь(). В этом случае для определения характеристик электромагнитного поля удобно воспользоваться однородными уравнениями Гельмгольца относительно векторов электромагнитного поля.        (1)           (2)     -волновое число.

Векторные уравнения (1) и (2) можно записать в виде системы из трех скалярных уравнений:

     (3)      (4)

Наиболее просто уравнения (3) и (4) и их решения выглядят в случае плоских электромагнитных волн. Под плоскими волнами подразумевают электромагнитные волны, распространяющиеся вдоль линейной координаты, в каждый фиксированный момент времени неизменны в плоскости, перпендикулярной направлению распространения. Будем полагать, что волна, распространяется вдоль оси Z, т.е. вектор Пойнтинга:         (5)

 Из соотношения (5) видно, что вектор Пойнтинга определяется компонентами электромагнитного поля, находящимися в плоскости xOy. В данном случае отсутствуют составляющие поля вдоль оси z. Таким образом, должны выполняться условия: так как, по определению, поле должно быть неизменно в плоскости распространения волны, то:

      (6)

Используя соотношение (6), выражения (3) и (4) можно переписать следующим образом:

(7)           (8)

Решение каждого из уравнений: (9)          (10)

Для того, чтобы не увеличивать количество постоянных интегрирования мы компоненты поля найдем с использованием решений (9), (10) и уравнений Максвелла.

(11)

Используя соотношение (11), получим: (12) (13)

Вынося jk за скобки, получим:   (14)            (15)

Получим систему решений: (16) (17)   (18) (19), где ,[Ом]-характеристическое сопр-ние среды,определяющееся св-ми среды.

Пары (16)-(17) и (18)-(19) образуют вектор Пойнтинга, ориентированный по оси z. Полученные нами, решения представляют собой сумму двух слагаемых (так как решалось дифференциальное уравнение). Уточним физический смысл каждого слагаемого. Для этого в уравнении (16) перейдем от комплексных амплитуд к мгновенным значениям.

                                                               (20)

Аргумент первого слагаемого — (21) Аргумент второго слагаемого —

Рассмотрим аргументы и слагаемые для t=t₁, z=z₁, т.е. . Дадим приращение времени  и определим смещение точек  этого волнового процесса с постоянными фазами .

Для того, чтобы оценить это смещение, осуществляем следующие равенства:

(22)     (23)

Приводя подобные члены в соотношениях (22) и (23), получим:

        (24)            (25)

Выражая  в первом и втором случаях, получаем: (26) (27)

Соотношение (26) определяет перемещения фиксированной фазы , а соотношение (27) — , т.е. соотношения (26) и (27) определяют фазовую скорость. Соотношение (26) определяет положительную фазовую скорость. Стало быть, компонента и соответствующая ей соответствуют плоской волне распространяющейся в положительном направлении оси z. Аналогично и соотношение (27).   Итак, в полученном нами решении (16) первое слагаемое для плоской волны в положительном направлении, второе слагаемое — в отрицательном.

Уточним физический смысл волнового числа k. Волновое число k показывает изменение фазы волны в радианах при прохождении волной пути в 1 метр. Минимальное расстояние, на котором фаза волны изменяется на 2p называется длинной волны (пространственным периодом). (28)                                               (29)

Проанализируем полученные решения на примере , .      

В этих общих решениях выделим слагаемые, которые соответствуют волне, распространяющейся в положительном направлении оси z:                    (30)                   (31)

Перейдем к мгновенным значениям:       (32)              (33)

1. z = const — поверхность равных фаз представляет собой плоскость.

2. поверхность равных амплитуд совпадает с поверхностью равных фаз (плоская волна однородная).

3. в направлении распространения отсутствуют составляющие поля (плоская, однородная, поперечная).

4. компоненты поля плоской волны взаимноортогональны и перпендикулярны направлению распространения волны.

Между составляющими поля плоской волны существует взаимосвязь.

    

Определим энергетические характеристики волны:  — объемная плотность электрической энергии.  — объемная плотность магнитной энергии.

Так как среда однородная, изотропная и без потерь, . Определим скорость распространения энергии: . Уравнение для фазовой скорости: , где . Тогда в случае среды без потерь: .

       Различные комбинации полного решения для плоской электромагнитной волны фактически соответствуют одной и той же плоской волне при различных ее ориентациях, относительно выбранной системы координат.