Система уравнений монохроматического (гармонического) поля.

       Известно, что уравнения Максвелла относятся к линейным дифференциальным уравнениям. Поэтому в случае гармонических электромагнитных полей в уравнениях Максвелла можно перейти к комплексным амплитудам.

   

Т.е. если , то , где

.

       Используя понятие комплексных амплитуд, получим:

  (1)  т.к. ,   (2)

(3)

  (4), где (5) — комплексная диэлектрическая проницаемость среды.

       Входящее в соотношение (5) отношение называется тангенсом угла электрических потерь:   (6)

       Комплексная диэлектрическая проницаемость в форме (5) справедлива для сред, в которых имеются только джоулевы потери. В общем случае, когда необходимо учесть диэлектрические потери  представляется в следующем виде:          (7)

  (8) – тангенс угла диэлектрических потерь

       Этот общий случай позволяет также учесть потери, связанные с эффектом поляризации в переменном электрическом поле. Наличие диэлектрических потерь приводит к появлению фазового сдвига между электрическими векторами D и Е. Величина которого:   (9)

       Переходя во втором уравнении Максвелла к комплексным амплитудам получим: (10).

, где (11)   (12) — тангенс угла магнитных потерь.

       Магнитные потери связаны с эффектом периодического изменения намагниченности вещества во внешнем поле. Наличие магнитных потерь приводит к фазовому запаздыванию вектора В относительно вектора Н (явление Гистерезиса) в электромагнитных средах.

       В случае гармонического поля при использовании метода комплексных амплитуд, возникает дополнительная возможность учесть потери, связанные с эффектами поляризации и намагничивания вещества.

       В случае гармонических полей при использовании метода комплексных амплитуд 3 и 4 уравнения Максвелла являются следствием первых двух.

        Поясним это:

       В средах с проводимостью неравной нулю объемная плотность убывает и в случае установившегося электромагнитного процесса (к ним относятся гармонические колебания). Можно считать, что объемная плотность электрического заряда равна нулю. В этом случае третье уравнение Максвелла запишется следующим образом:

    (13)

       Это соотношение для среды с конечной проводимостью. Оно является справедливым и для не проводящих сред. Если в непроводящей среде рассмотрим гармонический процесс, то:      

       Всякое изменение свободных электрических зарядов сопровождается появлением в среде электрического тока, но при  в среде невозможно появление тока удовлетворяющего закону Ома. Поэтому (13) является справедливым в случае гармонических процессов и для непроводящих сред.

Переходя в уравнении (13) к комплексным амплитудам, получим:      (14)

       Покажем, что оно является следствием (4). Возьмем дивергенцию от правой и левой части. Аналогично и для 4 уравнения Максвелла: (15)

       В случае гармонических полей они полностью описываются соотношениями (4), (11). Будем предполагать, что в рассмотренной области имеются сторонние источники. В этом случае выражения (4), (11) не применимы. Для получения справедливых соотношений воспользуемся 1 уравнением Максвелла:      

(16) (17)

Рассмотрим 3 уравнение Максвелла. Возьмем дивергенцию от соотношения (16).

       Для сторонних токов:      Окончательно получим:    (18)

       В случае гармонических электромагнитных полей мы должны воспользоваться соотношением (17) и (18), при этом (4) и (11) останутся без изменений.

       Итак, когда имеются сторонние источники:

Уравнения Максвелла без учета сторонних источников:

Подставляя вторую систему в первую, с использованием метода комплексных амплитуд, получим:

       В дальнейшем индекс m будем формально опускать.