Уравнения баланса для средней за период мощности.

       Теорема Умова-Пойнтинга и соответствующее ей аналитическое соотношение

(1)

были сформулированы для мгновенных значений и остаются справедливыми в последний момент времени. Это соотношение — важнейшее в классе электродинамики.

       При анализе гармонических электромагнитных процессов особый интерес представляют энергетические параметры, усредненные по периоду. Среднее за период значение: (2)

       Получим уравнение баланса для средней за период значения мощности гармонического электромагнитного процесса. Необходимо для каждого из слагаемых уравнения (1) получить величину, определяемую соотношением (2). Т. к. в соотношении (2) осуществляется интегрирование по времени, а анализируется гармонический электромагнитных процесс, то, естественно, надо воспользоваться методом комплексных амплитуд. Непосредственная замена мгновенных функций, соответствующими комплексными аналогами возможна только в линейных уравнениях. В данном случае непосредственная замена мгновенных векторов электромагнитного поля невозможна, так как выполняются следующие неравенства:

       В случае нелинейных уравнений, переход к комплексным амплитудам осуществляют с помощью следующего соотношения:

 (3)

Получим уравнение баланса для средней за период значения мощности гармонического электромагнитного поля. Сначала определим среднее за период значения функций входящие в (1).

       Для начала получим среднее за период значение вектора Пойнтинга:

раскроем векторное произведение:   (4)

       Таким образом, сумму можно записать как удвоенную действительную часть любого из слагаемых:

  (5)

       Величина  от времени не зависит. С учетом приведенных рассуждений, получаем:

  (6)

       Подставим (6) в (2). Два последних слагаемых, в соотношении (6), меняются с удвоенной частотой, т.е. половину периода принимают положительную величину, а другую половину — отрицательную. Поэтому и среднее за период значение равно нулю.

  (7)

Величина, от которой берется действительная часть   (8) называется комплексным вектором Пойнтинга.

  (8) — комплексный вектор Пойнтинга.

  (9)

Итак, (7) определяет среднее за период значение плотности потока энергии через поверхность S. Среднее за период значение потока мощности:

  (10)

       Рассмотрим каждое из слагаемых выражения (1).

  (11)

  (12)

  (13)

(14)

Таким образом, в результате проделанных нами вычислений, получили:

  (15)

  (16)

       В среднем за период, мощность сторонних источников расходуется на потери внутри объема и частично уходит во внешнее пространство, через поверхность S.

 

Таким образом, мы получили 2 уравнения: векторное дифференциальное и скалярное дифференциальное с простой правой частью. Из наших рассуждений мы можем исключить , т.е. можем свести к нахождению только . Для этого в соотношении (7) исключим , используя соотношение (8). Из соотношения (8) следует:

(11)