Уравнения Максвелла и сторонние токи.

В правой части 1-ого уравнения Максвелла в дифференциальной форме входит векторная величина объемной плотности электрического тока,  которая возбуждается в среде под действием внешнего электрического поля.

Этот ток возникает в результате воздействия электрического поля на проводящую среду. В общем случае правую часть1-ого уравнения Максвелла дополняют еще одной векторной величиной — вектором объемной плотности стороннего электрического тока, , который рассматривают первопричиной возникновения электрического поля в рассматриваемой части пространства.

Часто, вместо стороннего электрического тока, вводят стороннее электрическое поле (вектор напряженности стороннего электрического поля Е^ст).  возбуждается сторонними электрическими токами протекающими в не рассматриваемой части пространства.

В случае постоянных процессов в качестве Е^ст понимается напряженность электрического поля сторонних Э.Д.С, которые имеют не электрическую природу (химическую, диффузионную и т.д.).

Введение и существенно упрощает решение электродинамических задач т. к. исключает детальный анализ в некоторой части пространства. Аналогично понятию сторонние электрические токи вводят понятие сторонние электрические заряды:

                   1 уравнение Максвелла (1)

                   3 уравнение Максвелла   (2)

В случае переменных электромагнитных процессов сторонние токи и сторонние заряды связаны уравнением непрерывности:

.

Граничные условия для нормальных составляющих векторов электрического поля (Е и D).

Поверхностные заряды.

       На границе раздела двух сред, отличающихся объемом и диэлектрической проницаемостью, выделим элементарную площадку DS. Размеры ее настолько малы, что ее можно считать плоской. В пределах площадки нормальная составляющая вектора электрического смещения  на границе раздела в пределах  была распределена равномерно. На DS, как на основании, построим прямой цилиндр высотой Dh так, чтобы его основания (  и ) находились в различных средах. Единичный вектор - нормаль к основанию  считается положительной, если она из второй среды в первую.

Применим к этому цилиндру 3-тье уравнение Максвелла в интегральной форме:   (1)

Полную поверхность представим в виде суммы:   (2)

Рассмотрим предел для левой части при . Устремим  таким образом, чтобы DS₁ и DS₂ все время были в разных средах. Очевидно, что в пределе DS₁ и DS₂ совпадут с площадкой DS. Учитывая, что направление вектора совпадает с направлением внешней нормали к поверхности цилиндра для слагаемых, в левой части получим следующее предельное соотношение:

  (3)

 (4)

 (5)

Осуществляя предельный переход при в соотношении (2) с учетом выражения (3), получим:  (6).

В данном соотношении следует рассмотреть 2 случая:

1. Пусть, на границе раздела S отсутствуют поверхностные заряды, тогда при любом конечном значении r^э (объемной плотности заряда) предел справа будет равен нулю и, получим: (7)

Из (7) следует, что при отсутствии поверхностного заряда на границе раздела S нормальная составляющая вектора электрического смещения D_n непрерывна при прохождении границы раздела.

2. Будем полагать, что электрические заряды распределены по поверхности S с поверхностной плотностью .

 

В этом случае предел в правой части (6) можно преобразовать следующим образом:     .

Равномерное распределение нормальной составляющей вектора D на границе раздела сред в пределах ∆S сопряжено с условием нормального распределения поверхностной плотности заряда в пределах ∆S.

 (8).

Подставляя (8) в (6) получим, что при условии поверхностного распределения заряда граничное условие будет следующим:

  (9)  .

Из (9) следует, что при наличии поверхностных зарядов на границе раздела нормальная компонента вектора D претерпевает разрыв величина которого определяется аовырхностной плотностью электрических зарядов.

Переходя в (7) к напряжениям электрического поля получим:

 или   (10)

Переходя в (9)  к напряжениям электрического поля получим:   (11) – справедливо при наличии поверхностных зарядов. Из (10) и (11) следует, что даже при отсутствии поверхностных зарядов нормальная компонента вектора Е претерпевает разрыв, величина которого определяется соотношением диэлектрических проницаемостей сред. Наличие поверхностных зарядов изменяют величину этого разрыва.

P.S. Поверхностная плотность электрического заряда это удобная идеализация, упрощающая решение задач. Фактически электрический заряд распределен в конечном приграничном слое. Мы прибегаем к понятию плоскости поверхностного заряда, когда нас не интересует значение D в случае заряженного слоя.

18. Граничные условия для касательных составляющих векторов электрического поля (E и D).

       На границе раздела сред, отличающихся e_а, выделим точку. Проведем через нее нормаль к поверхности S. Через эту нормаль проведем плоскость р.

На линии пересечения плоскостей выделим элементарный отрезок Dl, так, чтобы его можно было считать прямолинейным, и касательная, составляющая Е в I и II средах у границы раздела, была распределена равномерно. Отрезок Dl включает точку, в которой построили единичную нормаль. В этой точке проведем единичный вектор  касательный к Dl и единичный вектор  перпендикулярный к Dl. В плоскости р построим контур высотой Dh так, чтобы участки контура CD и АВ находились в разных средах. Положительное направление обхода контура ABCD связано с направлением единичной нормали правилом правого винта. Применим к контуру ABCD 2-ое уравнение Максвелла:

       (1)

Представим контур в виде суммы отрезков:

(2)

Три единичных вектора связаны векторным соотношением. В слагаемых AB и CD векторные элементы dl равны, поэтому их можно заменить:

АВ:

                                               CD:

Найдем предел в соотношении (2) при Dh. Высоту уменьшим так, что бы АВ и CD были в разных средах. В пределе они совпадут с отрезком Dl.

так как вектор  в 1 и 2 средах, а также имеют конечное значение, то

С учетом отмеченных особенностей предельный переход при Dh®0,в соотношении (2), приводит к следующему соотношению:                                       

  (3)

На границе раздела сред тангенциальная составляющая напряженности электрического поля непрерывна:   (4)

Тангенциальная компонента вектора электрического смешения претерпевает разрыв, величина которого равна отношению диэлектрической проницаемости сред. Из полученных граничных условий следует, что на границе раздела сред, векторы электрического поля  преломляются.