Четвертое уравнение Максвелла.

Так как в природе не обнаружено магнитных зарядов и токов, то закон Гаусса и его дифференциальная форма в этом случае описываются следующим образом:

.

Векторное поле магнитной индукции не имеет стоков и истоков. Силовые линии замкнуты. Поле соленоидальное.

 

Закон сохранения заряда.

Полученное уравнение непрерывности тесно связано с законом сохранения заряда и по существу является его дифференциальной.

Закон сохранения заряда: Всякому изменению электрического заряда (q) внутри объема V, ограниченному поверхностью S, соответствует электрический ток, втекающий или вытекающий из этого объема:

(1).

Для того, чтобы доказать взаимосвязь уравнения непрерывности и закона сохранения полного тока, получим закон сохранения полного тока из уравнения непрерывности. Проинтегрируем уравнение непрерывности по объему:

.

Левую часть преобразуем по теореме Остроградского - Гаусса, а в правой части поменяем интегрирование с дифференцированием: .

Здесь: , а .

Отсюда получаем: .

Пределы, ранее введенные, следует рассматривать в физическом смысле.

 

Третье уравнение Максвелла.

Третье уравнение Максвелла является обобщением закона Гаусса на случай переменных процессов. Поток вектора электрической индукции  через поверхность S, ограниченную объемом V равен электрическому заряду сосредоточенному внутри объема V:

.

Учитывая, что  получим .

Последнее соотношение справедливо, если равны подынтегральные соотношения. Отсюда получаем: (1).

Полученное соотношение и является третьим уравнением Максвелла.

Развернем дивергенцию в системе координат: .

Анализируя (1) отметим, что истоками или стоками вектора электрического смещения  являются свободные электрические заряды. Силовые линии начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных. В отличие от вектора электрического смещения истоками и стоками другого электрического вектора - вектора напряженности  могут быть как свободные, так и связанные электрические заряды.

(2).

Подставим (2) в (1):          (3).

Объемная плотность поляризационных зарядов:

                              (4).

Причиной возникновения этой величины является неравномерность вещества под действием внешнего электрического поля. Подставляя (4) в (3), получим:   (5).

Первое уравнение Максвелла.

В среде с постоянным током, который характеризуется вектором объемной плотности , выделим некоторый замкнутый контур V и поверхность S, которая опирается на этот контур. Введем положительную единичную нормаль к поверхности S.

Для того, чтобы определить поле вектора  необходимо воспользоваться законом Ампера или законом полного тока.

Положительное направление обхода контура и единичной нормали связаны правилом правого винта. Напряженность магнитного поля можно определить, используя закон полного тока:

  (1).

Запишем правую часть в интегральной форме:

                  (2).

Левую часть преобразуем по теореме Стокса (поверхность S произвольная): .

  (3)

Соотношение (3) называется дифференциальной формой закона полного тока для стационарного процесса. Возьмем дивергенцию левой и правой частей :

  (4).

Будем рассматривать случай переменного (нестационарный процесс) тока. Должно выполняться соотношение: . Однако выполнялось соотношение (4). Максвелл добавил некую величину Y и получил: ; (4').

Используя уравнение непрерывности, он получил: .

Далее он воспользовался своим третьим уравнением, т.е. он приписал: .

Полагаем, что функция  и её производная непрерывны в каждой точке пространства. В последнем соотношении поменяем дифференцирование в пространстве и дифференцирование по времени:

    (5)

Подставляя (5) в (4'), получим: (6).

Выражение (6) является дифференциальной формой закона полного тока для нестационарного процесса. Слагаемое  имеет смысл объемной плотности электрического тока. Вектор объемной плотности тока смещения:

                    (7).

Анализируя (6), Максвелл сформулировал одно из двух своих важнейших своих положений:

Первое положение Максвелла: Переменное во времени электрическое поле приводит к появлению в пространстве магнитного поля.

 

Запишем (6) в виде проекций:

(6')

Дифференциальной форме (6) соответствует интегральная форма:

        (8).