Графическое изображение полей.

 

Поля изображают с помощью силовых линий. Под “силовыми” подразумевают линии, в каждой точке которых касательные изображают направление изображаемого поля. Изменение амплитуды поля указывают числом силовых линий, приходящихся на единицу площади поверхности перпендикулярно силовым линиям. Пусть имеется векторное поле А, которое в каждой точке пространства может быть выражено в декартовой системе:

l - силовая линия поля А, - единичные орты. Получим дифференциальное уравнение силовой линии: dr можно записать через его проекцию:   (1),

Предполагаем, что известна функция, описывающая силовую линию:

  (2).

Из векторного анализа известно, что два вектора параллельны, если равны отношения соответствующих проекций:

  (3).

Это и есть дифференциальное уравнение силовой линии.

 

Потенциальные и вихревые поля.

Все множество векторных полей классифицируют, разбивая их на два вида:     1) потенциальные и 2) соленоидальные (вихревые).

К потенциальным полям относят поля, для которых:

 (теорема Стокса).

Векторные потенциальные поля имеют начало — исток и конец — сток. Для потенциальных векторных полей можно ввести понятие потенциала, причем ,( скалярный потенциал). Возьмем в векторном потенциальном поле две точки N₁, N₂: Y₁, Y₂ тогда: .

       Разность потенциалов не зависит от пути интегрирования. Интенсивность потенциального поля характеризуется величиной его источников , которая, для потенциального поля равна нулю. Точки, в которых < 0 называются стоком. Точки, в которых > 0 называются истоком.

К соленоидальным относятся поля, для которых интеграл по замкнутой поверхности равен нулю .

Вихревые поля не имеют источников. Силовые линии соленоидального поля всегда замкнуты. Для него = 0. Соленоидальные поля характеризуются интенсивностью вихря .

Электростатические поля всегда потенциальны. Магнитные поля всегда соленоидальны. Переменные электрические поля, в общем случае композицияпотенциального и соленоидального полей.

 

Уравнение непрерывности.

В среде с током выделим некоторый объем V, ограниченный поверхностью S. В единицу времени через элементарную площадку  проходит заряд , а через всю поверхность S проходит заряд: .

Пусть за время Dt через поверхность прошел заряд dq^э, тогда

.

В свою очередь, полный электрический заряд, сосредоточенный в объеме:

,                     .

В левой части последнего равенства переставим местами дифференцирование по времени и интегрирование по объему, это допустимо т.к. мы полагаем, что  и ее производные непрерывны в каждой точке. Будем полагать, что функция r^э характеризует распределение электрического заряда в объеме.

В этом случае в левой части интегрирование и дифференцирование можно поменять местами: .

В выражении используется частная производная, так как r под интегралом является функцией не только координат, но и времени.

Правую часть преобразуем по функции Остроградского – Гаусса:                                                                              .

— это интегральное уравнение для произвольного объема V. Это возможно, если равны подынтегральные выражения:

— уравнение непрерывности (1).

Из него в частности следует, что истоками или стоками являются электрические заряды.       Если мы предположим, что объемная плотность электрического заряда в объеме неизменна во времени, то производная по времени будет равна нулю, и мы придем к следующему соотношению:

    (2).

Поле, которое характеризуется неизменными во времени векторными или скалярными величинами называется постоянным или стационарным. Из (2) следует, что постоянные токи не имеют истоков и стоков, а их силовые линии векторного поля являются замкнутыми.