Закон Ома в дифференциальной форме.

В теле с током выделим элементарный цилиндр. Цилиндр возьмем достаточно малым, чтобы можно было считать, что ось цилиндра параллельна линиям тока. В пределах торцов, которые перпендикулярны линиям тока плотность тока распределена равномерно с одинаковой амплитудой. Для этого цилиндра можно записать закон Ома:   (1), где   (2);

[R] = [Oм], [s] = [ ].

Известно, что вектор напряженности электрического поля параллелен вектору объемной плотности электрического тока. При этом напряжение между торцами можно записать следующим образом: (3) и получим: .

Подставляя (2), (3) в (1) получим:   (4) (разделим на ds).

Учитывая, что , получаем .

— закон Ома в дифференциальной форме.

Второе уравнение Максвелла.

В результате обобщения многочисленных экспериментальных исследований Фарадей получил закон электромагнитной индукции:

Переменное магнитное поле, пересекающее замкнутый проводящий контур, наводит в этом контуре э.д.с., величина которой пропорциональна скорости изменения потока.

          (1)

Знак «-» говорит о том, что возбуждаемая в контуре Э.Д.С. как бы препятствует изменению магнитного потока (правило Ленца).

Из (1) следует, что величина Э.Д.С. не зависит от материала, из которого изготовлен контур. Очевидно, что ток, возбуждаемый в контуре зависит от сопротивления проводника.

Максвелл установил, что причиной возникновения э.д.с. в проводящем контуре является соленоидальное электрическое поле, которое возникает в пространстве и в отсутствие контура. Э.д.с. не зависит от свойств материала, но ток связан с его сопротивлением.

Интеграл по замкнутому контуру (рисунок правовинтовой системы) не равен нулю. Рассмотрим в пространстве некий контур l, поверхность S, на которую опирается этот контур и единичную нормаль. Положительное направление обхода связано с направлением единичной нормали правилом правого винта. Магнитный поток, пересекающий контур, считается положительным или отрицательным в зависимости от того, совпадает он или нет с направлением единичной нормали. Скорость изменения магнитного потока считается положительной или отрицательной в зависимости от того, увеличивается или уменьшается магнитный поток. Запишем обобщения для электромагнитной индукции через вектора электромагнитного поля: .

Магнитный поток, пересекающий поверхность S: . Подставляя эти соотношения в выражение (1), получим:   (2).

Преобразуем левую часть, используя теорему Стокса:

Так как поверхность S и контур L выбраны произвольно, то (3).

Выражение (3) является дифференциальной формой обобщенного закона электромагнитной индукции, а выражение (2) — его интегральной формой.

Второе положение Максвелла: Переменное магнитное поле возбуждает в пространстве соленоидальное электрическое поле.