Плотность энергии электромагнитного поля.

Из предыдущего параграфа известно, что запас электромагнитного поля в объеме V:   (1)

Правую часть можно представить в виде двух слагаемых, одно из которых зависит только от электрического поля, а другое только от магнитного.

; (2)

Так как энергии представлены в виде интегралов по объему, то подынтегральные выражения можно трактовать как объемную плотность энергий, а их сумму — как объемную плотность энергии электромагнитного поля.

; (3)

(4)

Принцип суперпозиции, которому удовлетворяют векторы электромагнитного поля, не распространяется на энергию электромагнитного поля.

Пусть в объеме V существует независимо два электромагнитных поля. Энергия суммарного электромагнитного поля:

    (5)

,

где W₁₂ — взаимная энергия электромагнитного поля. Она может быть как положительной, так и отрицательной, т.е. суммирование электромагнитных полей может приводить как к увеличению энергии результирующего поля, так и к уменьшению ее. Если электрический и магнитный вектора, суммируемых полей, взаимно ортогональны, то очевидно, что взаимная энергия будет равна нулю. В случае переменных процессов электромагнитная энергия непрерывно изменяется. Эти изменения в каждой точке можно описать следующим соотношением:

(6)

Так как левая часть и первое слагаемое есть подынтегральные выражения, то их можно трактовать объемной плотностью мощности сторонних источников и сторонних потерь.

    (7)

 (8)

Соотношение (8) есть дифференциальная форма теоремы Пойнтинга.

 

Скорость распространения энергии электромагнитных волн.

В пространстве, в котором распространяется электромагнитная энергия, выделим энергетическую трубку (некий протяжный объем, на боковой поверхности которого вектор Пойнтинга равен нулю).

Пусть, за время Dt через боковую поверхность DS прошла энергия DW и оказалась сосредоточенной между сечениями DS и DS₁, между которыми, расстояние D l. Направление единичного вектора  совпадает с направлением распространения энергии.

Тогда скорость распространения энергии:

    (1)

       Энергию, заключенную между торцами DS и DS₁:

    (2),

где w — объемная плотность энергии, а DS^’ — среднее сечение.

       Если промежуток Dt взять достаточно малым, чтобы  не успел измениться, то энергию:

   (3)

       Приравняем (2) к (3) и выразим . Получим:

(4)

       Найдем предел от соотношения (4) при Dt®0. Получим:

  (5)

Получили общее выражение для величины скорости распространения энергии. Если предположить, что векторы  и , а стало быть,  и  неизменны в пределах поперечного сечения цилиндра, то в этом случае, векторы  и  совпадают по направлению распространения энергии.

     (6)