Условия единственности внешних задач электродинамики.

 

       Для обеспечения единственности решения внешних задач электродинамики необходимо выполнение одного из условий 1-4, плюс к этому должно выполнятся одно из условий, описывающее поведение электромагнитного поля при бесконечно удаленных точках (при r®¥).

       1. Принцип предельного поглощения () требует, чтобы эта зависимость была , т.е. каждая из составляющих поля должна убывать с увеличением расстояния быстрее, чем . В реальных средах имеются пусть очень малые, но конечные по величине потери, т.е. . Поэтому, в бесконечно удаленных точках, электромагнитное поле равно нулю.

       2. Если в среде отсутствуют потери и принцип предельного поглощения не применим, в этом случае векторы электромагнитного поля должны удовлетворять следующим соотношениям:

— условия Зоммерфельда.

       Физически эти условия означают, что электромагнитные волны при r®¥ имеют вид сферических волн, расходящихся от источника электромагнитного поля.

 

 

Уравнения Гельмгольца.

       Практически все задачи электродинамики разделяют на 2 вида:

1. прямые задачи, в которых по заданному распределению сторонних источников необходимо определить соответствующее распределение электромагнитного поля.

2. обратные задачи, в которых по заданному распределению электромагнитного поля надо определить соответствующее распределение сторонних источников.

В этом разделе рассмотрим основные методы решения прямых задач электродинамики применительно для гармонического ЭМ поля и однородных линейных изотропных сред.

       Относительно мгновенных значений векторов поля задачи решают очень редко, из-за сложности их определения. Обычно задачи решают для гармонических полей с использованием метода комплексных амплитуд. При решении любых электродинамических задач очень редко используют непосредственно уравнения Максвелла. Обычно уравнения Максвелла стараются свести к известным формам дифференциальных уравнений.

       Рассмотрим гармонический электромагнитный процесс. Запишем уравнения Максвелла для комплексных амплитуд:

(1)   (2)

Возьмем ротор от правой и левой части соотношения (1). Получим:        (3)

Воспользуемся известным тождеством:

Из 4-ого уравнения Максвелла:  следует, что: (4)

Подставим (4) и (2) в соотношение (3) и получим:  или

       (5)

В результате проведенных преобразований мы получили неоднородное дифференциальное уравнение, которое в математической физике называется неоднородным уравнением Гельмгольца. Это уравнение описывает волновые процессы. Векторное дифференциальное уравнение (5) можно записать в виде трех уравнений проекций:

(6)

Аналогичные уравнения можно получить и для вектора напряженности поля.

   (7)

Меняя везде знаки, получим:      (8)

       При анализе сред, в которых отсутствуют сторонние источники, неоднородные уравнения (5), (8) преобразуются в однородные:

     (9)

Соотношения (5), (8), (9) называются уравнениями Гельмгольца относительно векторов поля.