Электродинамические потенциалы для комплексных амплитуд.

           Даже уравнения Максвелла, преобразованные к уравнениям Гельмгольца в форме (5), (8), используются при решении электродинамических задач из-за сложной правой части. При решении задач для векторов поля уравнения используются только для полей без сторонних источников. Обычно, если рассматриваемые задачи со сторонними источниками, используют искусственный прием - вводят формальные поля, которые описываются некоторыми функциями, называемыми электродинамическими потенциалами. Для них решают электродинамическую задачу, а соответствующие вектора электромагнитного поля находят, используя уравнения связи между электромагнитными потенциалами и векторами поля.

Получим выражения для электродинамических потенциалов. Для этого запишем уравнения Максвелла:

(1)     (2)    (3)         (4)

Существует следующее векторное тождество:

 и         (5)

Векторную функцию  называют векторным электрическимпотенциалом. Соотношение (5) при известном  однозначно определяет вектор . Обратное определение неоднозначно, т.е. при известном векторном поле  соотношение (5) определяет неоднозначно. Известно, что . Поэтому, если ввести  и , то соотношение (5) не изменится. Поэтому соотношение (5) определяет  с точностью до градиента произвольной функции.

Подставим (5) в (2). Получим:  или   (6)

Воспользуемся вновь тождеством:  и . При этом:        (7)

       Скалярную функцию  называют скалярным электрическим потенциалом. Знак " - " поставлен, чтобы в случае электростатических полей мы получили соотношение, связывающее напряженность электрического поля и электрический потенциал. С помощью соотношений (5) и (7) определили векторы магнитного и электрического полей через два формальных поля: поля векторного электрического потенциала и поля скалярного электрического потенциала. Получим уравнения для их определения. Подставим соотношения (5) и (7) в первое уравнение Максвелла:

Помножим на , раскроем и раскроем скобки.

Формальные поля векторного и электрического потенциалов были введены без ограничений, т.е. это совершенно произвольные функции. Единственное ограничение — это то, что векторное поле электрического потенциала определяется точностью до градиента произвольной функции. Поэтому мы вправе ввести какие-то ограничения. Пусть таким ограничением будет: (8)

Равенство (8) называется условием калибровки.

       А теперь:   (9)

Аналогичным образом может быть получено выражение для определения скалярного электрического потенциала. Для этого нужно воспользоваться третьим уравнением Максвелла. Вместо  запишем соотношение (7):

         

Вместо  подставим то, чему она равна, используя условие калибровки:

окончательно получаем: (10)