Плоские волны произвольной ориентации.

       В предыдущих параграфах мы рассматривали плоские волны, распространяющиеся вдоль осей декартовой системы. Признаком распространения является .

Предполагаем, что среда без потерь.

где ,            (1)

Косинусы углов, определяющих направление волны, называются направляющими.

Уравнение фазовой плоскости ( =const):

Где (2)

Тогда скалярное произведение:

      (3)

(4)

 

       Мы предполагали, что среда без потерь. В случае среды с потерями соотношения не меняются, только вместо k подставляется g =b — ja. Перед началом рассмотрения волновых явлений дадим ряд определений.

       Плоскость, проходящая через нормаль к границе раздела и параллельно направлению распространению волны, называется плоскостью падения. Вектор  перпендикулярен направлению распространения волны, а относительно плоскости падения волны он ориентирован произвольным образом.

       Не теряя обобщенности рассуждений, достаточно рассмотреть два случая ориентации .

1.)  перпендикулярен плоскости падения (нормальная поляризация)

2.)  параллелен плоскости падения (параллельная поляризация)

       При произвольной ориентации вектора , он может быть представлен как суперпозиция двух этих случаев.

 

 

Падение плоской волны на границу раздела двух диэлектриков. Нормальная поляризация.

Вводное замечание.

Рассмотрим падение плоской волны на плоскую границу раздела сред. Среды предполагаются без потерь. Будем полагать, что плоскость падения совпадает с плоскостью xOy декартовой системы координат. Угол между направлением распространения и осью x называется углом падения. Граница раздела сред совпадает с плоскостью yOz. Направляющие косинусы будут определяться следующим соотношением:

т.е. фазовый множитель:

  где 

Нормальная поляризация.

 

В общем случае:  (1)             (2)

В данном случае вектор  направлен так же как ось у.

Фазовый множитель:

;

Можно записать уравнение падающей волны. Подставляя предыдущие замечания в уравнения (1) и (2), получим:

    (3)

  (4)

В общем случае, в результате падения волны на границу, падающая волна полностью или частично отражается или преломляется.

       Естественно предположить, что отраженная и преломленная волны являются также плоскими, линейно поляризованными. Полагаем, что направление распространения падающей, отраженной и преломленной волн находится в плоскости xOz. Полагаем, что отраженная и преломленная волны, так же как и падающая, являются нормально поляризованными. Тогда для отраженной и преломленной волн можно записать:

(5)                 (6)

(7)                 (8)

где ; .

В данном случае являются известными характеристики падающей волны j, . Искомыми являются j¢, j_n, , . Если в результате решения задачи нам удастся получить решение, которое удовлетворяет следующим граничным условиям:    ;    (9)

то, в соответствии с теоремой единственности, найденное решение будет верным и единственно возможным. Соотношения (9) должны выполняться во всех точках границы раздела, которая совпадает с осью z, т.е. при любых z граничные условия (9) должны выполняться. Это возможно, если падающая, отраженная и преломленная волны имеют одинаковую зависимость по z.

(10)              (11)

Учитывая, что угол j¢ имеет пределы , а угол j имеет пределы , мы делаем заключение, что: (12)

При анализе подобных задач обычно предпочитают пользоваться не углом j¢, а дополняющим углом j_о — углом отражения:   (13)

Подставляя соотношение (13) в (12), получим:   (14) — первый закон Снелиуса.

Воспользуемся соотношением (11) из которого следует, что:

          (15)        (16)

Соотношение (15), записанное в форме (16), называется вторым закономСнелиуса.

Отношение синуса угла отражения к синусу угла падения равно относительному коэффициенту преломления. Граничное условие (9) записывается следующим образом:

, x = 0                (17)         , x = 0                (18)

где учтено, что тангенциальные компоненты в первой среде образуются падающей и отраженной волнами, а тангенциальные компоненты во второй среде образуются преломленными волнами. Подставляя в соотношения (17), (18) соответствующие компоненты из соотношений (3) — (8), получим:

, x=0   (19)

, x=0       (20)

Учитывая одинаковую зависимость по z, можно отметить, что все фазовые множители одинаковые и их можно сократить. Кроме того, , получим:   (21)

      (22)

Амплитуда отраженной и преломленной волн пропорциональна , т.е.  ,  — коэффициент отражения,  — коэффициент преломления.

   (23)

Решая эту систему, получим:

       (24)

Коэффициенты отражения и преломления часто называют коэффициентами Френеля.

В соотношении (24) угол преломления можно исключить, используя закон Снелиуса.

Теперь можем записать результирующее поле в первой и второй средах, где учтено, что  и :

       Выражения для R и T справедливы, если одна или обе среды обладают конечной проводимостью.