Элементарные щелевые излучатели.

Рассмотрим бесконечно металлический экран, в котором прорезана узкая щель. Предположим, что она возбуждается от источника гармонических колебаний. Можно предположить, что в этой щели протекает переменный магнитный ток. С тем, чтобы этот магнитный излучатель был элементарным, следует положить, что l<<l (D<<l).

Рассматриваемая система называется двухсторонняя излучающая щель. Существуют способы одностороннего возбуждения щели.

Необходимо решить задачу о возбуждении электромагнитного поля малым током, протекающим в щели. Наибольший интерес представляет электромагнитное поле в ДЗ относительно щели gr>>1.

Типовой алгоритм решения задачи:

Решить неоднородное уравнение Гельмгольца относительно векторного магнитного потенциала.

Затем, используя уравнение связи, по найденным значениям векторного магнитного потенциала надо вычислить составляющие электромагнитного поля.

Т. к. нас интересует ДЗ, то в этих выражениях необходимо осуществить предельный переход, полагая gr>>1.

Но решение подобной задачи существенно упрощается, если воспользоваться принципом перестановочной двойственности: выпишем найденные раннее выражения для ЭЭИ:

ЭЭИ:                                                 

       (1)

(2)

ЭМИ:                                              

   

      (3)

(4)

 

Знак “—” говорит о том, что Е распространяется в положительном направлении радиальной координаты.

Из (4) следует, что в ДЗ электрическое поле ЭМИ имеет только j-ую составляющую, что свидетельствует о том, что в ДЗ электрическое поле, постепенно деформируясь, превращается в окружность. При анализе щелевых излучателей пользуются напряжением в щели, а не формальным магнитным током.

Постараемся перейти от магнитного тока к напряжению. В соответствии с законом полного тока

(5)

Размеры пластины малы, толщина исчезающе мала, т. е. в пределах этой пластины Н_t можно считать неизменной. Интегрирование по поверхности в данном случае заменяется интегрированием по участкам. Контур предполагается совпадающим с контуром поперечного сечения.

Вычислим напряжение в щели:

(6)

К (5) применим принцип перестановочной двойственности

      (7)

 

Из сопоставления (6) и (7) следует      

Откуда                          (8)

Переходя к соотношения (3), (4) от (8) получим:

                   (9)

                         (10)

Вычислим мощность излучения ЭМИ (вычислим П и проинтегрируем его по контуру).

   (11)

 

Выражение из электротехники:

       (12)

Из сопоставления (11) и (12) следует:

(13)

Для вакуума или воздуха:

[Ом]

Представляет интерес сравнить характеристики ЭЭИ и ЭМИ. Будем предполагать, что оба они излучают одинаковую мощность, тогда:                     

Для определенности зададим I^Э=1 А. Из этого соотношения следует, сто напряжение в щели U_щ=188 В. Из последних рассуждений следуют недостатки щелевых излучателей:

Для излучения большой мощности напряжение щели должно быть велико, в свою очередь напряжение ограничено величиной пробоя в среде при заданных условиях.

Щелевой излучатель является неединственным вариантом ЭМИ. В качестве ЭМИ могут рассматриваться элементарные рамки с электрическим током (периметр рамки должен быть << l). В этом случае можно полагать, что перпендикулярно поверхности рамки протекает магнитный ток.

 

Лемма Лоренца.

Лемма Лоренца устанавливает взаимосвязь между разнесенными в пространстве сторонними источниками и возбуждаемыми ими электромагнитными полями.

Предположим, что в точке 1 находится сторонний источник, который характеризуется , , , .

В точке 2 расположен другой источник , , , .

Очевидно, что взаимосвязь между ними может быть описана уравнениями Максвелла:

   (1)

(2)

Аналогично для второго источника:

(3)         (4)

(1) скалярно умножим на   (4) умножим на и вычтем из второго результата первый:

     (5)

(2) умножим скалярно на . (3) на и из первого результата вычтем второй:

    (6)

Вспомним известное векторное тождество:

        

Используя его (5) и (6) можно переписать следующим образом:

(7)

(8)

Из (7) вычтем (8):

(9)

(9) называется леммой Лоренца в дифференциальной форме (соотношение справедливо в каждой точке пространства, где имеются сторонние источники).

Проинтегрируем (9) по объему который включает все сторонние источники:

(10)

Левую часть (10) преобразуем, используя теорему Остроградского-Гаусса. В соответствии с этой теоремой:

(11)

где S₁ — замкнутая поверхность, ограничивающая объем.

Тогда, с учетом (11), соотношение (9) запишется в следующем виде:

       (12)

(12) — лемма Лоренца для ограниченного объема.

Рассмотрим случай бесконечного увеличения объема V₁. При этом поверхность S₁ размещается в бесконечно удаленных точках относительно расположения сторонних источников. В случае неограниченного объема V₁ поверхностный интеграл в (12) равен 0. Это можно объяснить, используя 2 аргумента:

1) поверхность S₁ удалена на бесконечность. Скорость распространения имеет конечное значение, т. е. за любой конечный промежуток времени волны не смогут достигнуть поверхности S₁, т. е. на поверхности S₁ отсутствуют составляющие поля, а, следовательно, интеграл по этой поверхности будет равен нулю

2) как нам известно в ДЗ амплитуда составляющих поля убывает пропорционально 1/r. В случае реальных сред, которые характеризуются малыми, но конечными по величине потерями, амплитуда убывает еще быстрее. Таким образом, в реальных средах векторное произведение в ДЗ убывает быстрее, чем 1/r². Площадь сферы с ростом r возрастает пропорционально r². Таким образом, предел при :

Таким образом в случае неограниченного объема V₁ лемма Лоренца записывается в следующей форме:

  (13)