Понятие бесконечного (безусловного) логического

Существуют различные понимания бесконечности: 1) Бесконечное есть только лишь множество (Аристотель, Больцано, Кантор и др.). 2) Существует не только количественное бесконечное, но и качественное бесконечное; бесконечность количественности состоит в ее качественности (Гегель, диалектический материализм). По-другому, существуют следующие понимания бесконечности: 1) Бесконечное есть потенциальное бесконечное, оно есть нескончаемое конечное, нескончаемость, «дурное» бесконечное, отрицательное бесконечное. Например, идея Канта, как Sollen, чем бы она ни была, она никогда не осуществится; нескончаемость натуральных чисел; нескончаемость движения-развития во времени и в пространстве и т.п. 2) Бесконечное есть актуальное бесконечное, например, а) фиксированное бесконечно малое и б) фиксированное, постоянное бесконечное большое. Точка зрения такой бесконечности есть мистическая точка зрения (как это отметил К. Маркс)[154] 3) Бесконечное есть «истинное» бесконечное, положительная бесконечность (с точки зрения Гегеля, такая бесконечность есть качественная бесконечность). 4) Бесконечность есть единство противоречий, она есть закон, общность (Ф. Энгельс). Бесконечное есть в конечном (Ф. Энгельс), единство бесконечного и конечного необходимо (В. И. Ленин). Единство конечного и нескончаемого есть положительное бесконечное[155].

Все это не значит, что существует несколько бесконечных, несколько понятий бесконечного; нет, допущение этого было бы логической ошибкой. Понятие бесконечного может быть только одно. Потенциальная бесконечность есть ослабленная бесконечность. Ослабленная же бесконечность уже не есть бесконечность. Фиксированная бесконечность есть бесконечность, представленная как конечное, которая или мистична или является единством конечного и бесконечного. В математическом бесконечно малом и в бесконечно большом осуществляется одна и та же бесконечность. Это впервые заметил Кузанский, сказав, что максимум равняется минимуму. Бесконечно малое и бесконечно большое со стороны бесконечности одно и то же. Бесконечное изменение, движение, развитие внутренне определенно, и, в этом смысле, завершено. Бесконечность завершена в своем понятии.

Кантор впервые отметил, что бесконечность может быть дана в конечном виде, разумеется, не по объему (невозможно сосчитанное бесконечное, сосчитать можно только конечное), а по содержанию, общему признаку. Он впервые определил бесконечное положительно: бесконечное есть множество, эквивалентное какой-нибудь своей части. Бесконечное множество есть трансфинитное число, но и трансфинитные числа бесконечны. Так что, бесконечное и выступает и не выступает в законченном виде. Получается парадоксальное положение. И вообще понятие бесконечности часто вызывало парадоксы.

Известен парадокс, выражающий противоречивость теории множества Кантора; это парадокс Бурали-Форти: бесконечный ряд чисел (натуральные и трансфинитные числа), как тип нормально упорядоченного множества, есть новое порядковое число, которое больше каждого порядкового числа; но бесконечный ряд чисел содержит все порядковые числа и среди них и это новое порядковое число, поэтому оно меньше того, в отношении чего оно было большим; оно и больше и меньше одного и того же числа. Это безвыходное противоречие — парадокс.

Следует отметить парадокс Рассела: входит ли в множество множеств, как в множество, само оно, как элемент? Если входит, то не должно входить, так как оно есть именно множество всех множеств. Но если не входит, то оно, как содержащее все множества, должно содержать само себя; а это и есть безвыходное противоречие, парадокс. Что вызывает этот и подобные парадоксы? Ответ на этот вопрос укажет нам, где искать выход.

Как отмечают (Хайсс, Гюнтер)[156], все эти парадоксы вызываются рефлексивностью и характерной для нее двузначностью, если истинность мысли понимается только как однозначность. Средством выхода из трудности, преодоления парадоксов признают снятие двузначности, снятие рефлексивности. Хотя имеется и попытка, точнее обещание (Г. Гюнтер), объяснения рефлексивности и двузначности математическими методами.

Что двузначность слова есть неясность, неопределенность, которая должна быть снята, разумеется, не вызывает спора. Каждое слово должно иметь определенное значение, и не быть неясным, неопределенным. Но двузначность рефлексии имеет совершенно другой характер.

Как известно, одним из основных средств преодоления парадоксов считают теорию типов Рассела. Правда, класс «человек» не есть человек, множество натуральных чисел не есть натуральное число, но множество множеств есть множество. Двузначны именно это последнее и подобные ему понятия: необходимо установить однозначность, что, по мнению Рассела, совершается и должно совершиться типовым ограничением. Элементы класса являются объектами одного типа, а класс, составленный из них, есть объект высшего типа. Объекты различных типов не могут замещать друг друга. Поэтому в отношении класса нельзя доказать ни то, что он есть член самого себя, ни то, что он не есть член самого себя.

Этим как-будто снимается двузначность «множества» и утверждается однозначность в каждом типе. Двузначность распределяется в различных типах. Но это только кажущееся разрешение трудности, поскольку распределение двузначности рефлексии упраздняет ее, тогда как она факт. Нужно не ее упразднение, а объяснение. Нельзя объяснить рефлексию попыткой ее упразднения. Объяснение ее означает ее сохранение и вместе с тем ее понимание-оправдание.

Как было сказано, трудность создается определенной рефлексивностью, именно рефлексивностью, связанной с бесконечностью. Трудность связана с понятием бесконечности, поскольку пытаются представить бесконечность, как конечную. Когда берется множество, как все множества — бесконечное множество, тогда уже поздно считать это «все» как бы не «всем» и расчленять его на типы, число которых может быть бесконечно многим. «Все», как бесконечное и как общее не может быть расчленено типовым ограничением, разложением его на типы. Указанная трудность не может быть преодолена таким путем. Разрешение парадоксов семантическими способами невозможно, поскольку бесконечность, рефлексивность и двузначность есть факт. То обстоятельство, что понятие бесконечного само есть конечное, не означает сведения бесконечности к конечному, иначе мы не имели бы и понятия бесконечности. Нельзя объяснять рефлексивность и двузначность путем их упразднения.

С формально-логической точки зрения, бесконечность есть отрицательное понятие, положительное определение которого смогла дать математика. Положительное определение бесконечности, данное в математике, должно быть обобщено так, чтобы получилось философско-логическое положительное понятие бесконечности. Как бы мы ни понимали бесконечность, ее понятие должно быть положительным, оно должно выражать положительную природу бесконечности. Как было сказано, в понятии бесконечности она представлена в виде конечного, именно как завершенная. Полное понятие бесконечности требует положительного необходимого единства конечного и бесконечного. Это уже означает, что вышеуказанная трудность, как философско-логическая трудность, должна быть разрешена в диалектике, в теории материалистической диалектики; в специальных науках должно быть использовано это разрешение с целью преодоления имеющихся там соответствующих трудностей.

Это означает и требует разрешения трудности рефлексии и ее двузначности на диалектической почве. Рефлексивность категории логического, как мы знаем, не только не вызывает трудности, но, наоборот, представляет средство преодоления трудностей. Рефлексия не равняется тождеству, как это понимается в математической логике; логическая рефлексия есть единство противоречий; тождество есть только один его момент. Однозначность и двузначность являются также моментами логической рефлексии. Двузначность или противоречие, в голом виде, есть ошибка; но единство противоречий есть истина, не потому, что здесь как-будто упраздняется противоречие, а вследствие того, что единство содержит противоречие-двузначность, как собственный, подчиненный ему момент.

Как мы уже знаем, конечное есть «это, а не другое»; полное конечное есть одна сторона противоречия; бесконечность в положительном смысле есть единство противоречий. Иначе говоря: конечное есть то, что утверждается и отрицается другим. Принципом конечного является «если—то»; а бесконечное есть самоутверждение, осуществляемое отрицанием, т.е. бесконечное рефлексивно и имеет внутреннее отрицание-противоречие. Бесконечное есть самоутверждение посредством отрицания. Возможно ли такое логическое? Если возможно, то в каком виде существует оно?