Четвертый главный закон движения (взаимности).

 

1. Дифференциальное уравнение закона.

 

       Анализ дифференциальных уравнений состояния позволяет подметить существование определенной симметрии во взаимном влиянии различных форм движения. Эта симметрия может быть выражена с помощью следующих дифференциальных уравнений различных порядков:

                                           А₁₂ = А₂₁;                                                                           (124)

                                           А _ir = А _ri;                                                                            (125)

                                           В₁₁₂ = В₁₂₁ = В₂₁₁; B₁₂₂ = B₂₁₂ = B₂₂₁;                             (126)

                               С₁₁₁₂ = С₁₁₂₁ = С₁₂₁₁ = С₂₁₁₁;                                             (127)

                               С₁₁₂₂ = С₁₂₁₂ = С₁₂₂₁ = С₂₁₁₂ = С₂₁₂₁ = С₂₂₁₁;                     (127)   

                               С₁₂₂₂ = С₂₁₂₂ = С₂₂₁₂ = С₂₂₂₁.                                              (127)

и т.д.

       Справедливость дифференциального уравнения (124) вытекает из равенства правых частей формул (108), соотношение (125) получено из выражений (112), соотношения (126) – из формул (118), соотношения (127) – из равенств (123) и т.д.

 

       2. Формулировка закона.

 

       Цепочка дифференциальных уравнений (124) – (127) именуется уравнениями взаимности. Она выражает четвертый главный закон (принцип) общей теории – закон взаимности (симметрии) – и с качественной и количественной стороны определяет симметричный характер взаимного влияния различных элементарных форм движения. Наиболее важными в этом ряду являются соотношения взаимности (124) и (125).

       Закон взаимности формулируется следующим образом:

       Каждая данная форма движения влияет на некоторое свойство, сопряженное с другой формой движения, в количественном отношении точно так же, как эта другая форма движения влияет на одноименное свойство, сопряженное с данной формой движения.

       Смысл закона взаимности можно проиллюстрировать на простейшем примере системы, описываемой дифференциальными уравнениями состояния (106) для n = 2. В этих уравнениях перекрестный коэффициент А₁₂ определяет влияние второго заряда (Е₂) на первый (не сопряженный с ним) потенциал (Р₁), а коэффициент А₂₁ – влияние первого заряда (Е₁) на второй потенциал (Р₂). Величина А₁₂ численно равна изменению первого потенциала Р₁ при изменении второго заряда Е₂ на единицу (и постоянном первом заряде Е₁), величина А₂₁ – изменению второго потенциала Р₂ при изменении первого заряда Е₁ на единицу (и постоянном втором заряде Е₂) [формулы (108)]. Равенство между собой перекрестных коэффициентов А₁₂ и А₂₁ [формула (124)] свидетельствует о наличии строго количественного соответствия между изменением первого потенциала под действием второго заряда и изменением второго потенциала под действием первого заряда, т.е. характеризует симметричный характер обоих изменений.

       Например, в случае газа (термомеханическая система) изменение объема на единицу вызывает изменение температуры на такую же величину, на какую изменяется давление под действием единицы термического заряда.

       Отмеченные закономерности относятся к изменениям производных свойств второго порядка (потенциалов). Аналогичная картина наблюдается и в отношении изменений производных свойств других порядков. При этом общий характер изменений этих свойств получается более сложным (см. соотношения (126), (127) и т.д.).

       В математическом плане равенства (124) – (127) и т.д. составляют содержание теоремы взаимности, которую можно сформулировать следующим образом. Если некоторая величина U (первого порядка) есть функция совокупности аргументов Е _n и все ее производные величины различных порядков – второго (Р _i), третьего (А _i), четвертого (В_i), пятого (С _i), шестого (D_i) и т.д., - определяемые путем дифференцирования U по Е в соответствии с правилами (110), (117), (123) и т.д., в свою очередь являются функциями тех же аргументов, то определенные группы производных величин в пределах каждого порядка равны между собой (формулы (124) – (127) и т.д.).

       В физическом плане происхождение соотношений (124) – (127) легко объясняется на основе сил, действующих между квантами зарядов в ансамбле. Этот вопрос разбирается в § 31, 59 и 82.

 

 

Емкость системы.

 

1. Емкость по отношению к заряду.

 

       Теперь предстоит выяснить смысл производных свойств системы более высоких порядков, чем Р. Начнем с установления смысла свойства А. Для этого введем величину, обратную А [формула (104)]:

                                           К = 1/А = dЕ/dР.                                                               (128)

       Из этой формулы видно, что коэффициент К равен количеству заряда, который изменяет потенциал системы на единицу потенциала. Следовательно, величина К есть емкость системы по отношению к обобщенному заряду. Чем больше емкость К, тем больше требуется подвести заряда к системе, чтобы ее потенциал изменился на единицу.

       Таким образом, производное свойство А третьего порядка есть величина, обратная емкости системы по отношению к обобщенному заряду, т.е.

                                           А = 1/К.                                                                              (129)

       В дальнейшем будет показано, что коэффициенты типа К имеют также смысл проводимости системы, а коэффициенты типа А – ее сопротивления.

       Необходимо подчеркнуть, что обе величины – А и К – находятся путем дифференцирования потенциалов или зарядов при постоянных значениях всех остальных зарядов, кроме рассматриваемого. На это указывают индексы у скобок в формулах (107) и (108).

 

       2. Свойства более высоких порядков.

 

       Из выражений (114) и (117) видно, что свойство В четвертого порядка представляет собой коэффициент пропорциональности в уравнениях, определяющих емкость К (коэффициент А) в функции от зарядов. Аналогично свойство С пятого порядка является коэффициентом пропорциональности в уравнениях (120) и (123), определяющих свойства четвертого порядка, и т.д.

       При практических расчетах в первом приближении величины А и К можно считать постоянными. При этом коэффициенты В в уравнениях (114) и (117) обращаются в нуль.

       Если точность первого приближения недостаточна, то во втором приближении для определения теперь уже переменных коэффициентов А и К используются формулы (114) и (117). При этом коэффициенты В считаются постоянными, а С [формулы (120) и (123)] обращаются в нуль.

       В третьем приближении нужно пользоваться уравнениями типа (120) и (123) при постоянных значениях коэффициентов С и нулевых D и т.д.

 

       3. Другие виды емкости.

 

       Наиболее правильным и естественным определением понятия емкости является данное выше определение. Оно связано с процессами заряжания и разряжания системы зарядами. Вместе с тем на практике используются также два других понятия емкости – по отношению к энергии и обобщенной работе.

       Емкость системы по отношению к энергии определяется как то изменение энергии, которое сопровождается изменением величины обобщенного потенциала на единицу.

                                           С = dU/dР,                                                                        (130)

откуда

                                           dU = СdР   дж.                                                        (131)

       Понятие емкости С системы по отношению к энергии уже не является столь же естественным, как понятие емкости по отношению к обобщенному заряду. Это объясняется тем, что система и окружающая среда в процессе взаимодействия обмениваются между собой не энергией, а обобщенным зарядом. Поэтому о емкости системы по отношению к энергии можно говорить лишь условно. Введенная величина С имеет ограниченное применение.

       Обобщенная работа численно равна изменению энергии системы. Это дает некоторые основания для введения понятия емкости системы по отношению к обобщенной работе:

                                           С = dQ/dР,                                                                        (132)

откуда

                                           dQ = С/dР              дж.                                                 (133)

       Емкость С равна обобщенной работе, совершение которой сопровождается изменением величины обобщенного потенциала системы на единицу.  

       Понятие емкости системы по отношению к обобщенной работе носит еще более условный характер, чем понятие емкости системы по отношению к энергии. Это объясняется тем, что работа не является субстратом обмена между системой и окружающей средой (работа совершается зарядом в процессе его перехода через контрольную поверхность). Кроме того, понятие емкости предполагает наличие у системы соответствующих запасов обобщенной работы, т.е. понятие емкости непосредственно связано с таким понятием, как содержание. Например, система обладает определенной емкостью по отношению к обобщенному заряду. Одновременно она может содержать определенное количество обобщенного заряда. Что касается обобщенной работы, то применительно к ней бессмысленно говорить как о содержании, так и о емкости системы.

 

       4. Примеры емкостей.

 

       Приведем вначале несколько характерных примеров емкости системы по отношению к обобщенному заряду.

       Для электрической формы движения понятие емкости по отношению к электрическому заряду хорошо известно (обозначения заимствованы из § 10):

                                           К _Y = d Y/ d j           ф.                                                    (134)

       Применительно к форме движения кинетической перемещения емкостью служит масса системы (при постоянном m):

                                           К_К = dК/d w = d(m w)/d w = m       кг.                          (135)

       Для термической формы движения емкость по отношению к термическому заряду (термоемкость) определяется формулой:

                                           К _Q = d Q/ dТ           дж/град².                                        (136)

       Точно таким же способом находятся емкости системы по отношению к заряду для всех остальных форм движения.

       Понятие емкости системы по отношению к обобщенной работе широко применяется лишь для термической формы движения. Применительно к термической работе, которая называется теплотой, емкость

                                           С = dQ_Q/ dТ            дж/град,                                         (137)

откуда

                                           dQ_Q = С dТ             дж.                                                 (138)

       Величина С носит название теплоемкости системы (не путать с термоемкостью – емкостью системы по отношению к термическому заряду). Теплоемкость системы равна термической работе (количеству тепла), совершение которой сопровождается изменением температуры системы на один градус.

       Для практических расчетов важное значение имеет связь между термоемкостью (емкость по отношению к термическому заряду) и теплоемкостью (емкость по отношению к термической работе – теплоте). Из выражений (59), (136) и (138) находим

                                           С = ТК _Q                 дж/град.                                         (139)

       Теплоемкость пропорциональна термоемкости, причем коэффициентом пропорциональности служит абсолютная температура. В практических расчетах можно пользоваться любым из этих понятий на равных основаниях.