Точка пересечения двух прямых

Пусть прямые l ₁: A ₁ x + B ₁ y + C ₁ = 0 и l ₂: A ₂ x + B ₂ y + + C ₂ = 0. пересекаются.

Требуется найти точку точку пересечения этих прямых.

Для этого достаточно решить систему двух уравнений с двумя неизвестными x и y:

 

M: ì A 1 x +  B 1 y +  C 1 = 0 í  A x + B y + C = 0 î  2           2            2

(1.6.10)

 

 

Пример. Найти точку пересечения прямых l ₁: 2 x + +3 y – 2 = 0 и l ₂: x – y + 4 = 0.

Решение: Запишем систему (1.6.10) и решим ее

 

Ответ: M (–2, 2).

 

 

Угол между двумя пересекающимися прямыми

Пусть прямые l ₁: y = k ₁ x + b ₁ и l ₂: y = k ₂ x + b ₂ пересекаются.

Углом j между двумя пересекающимися прямыми называется наименьший из углов j₁ и j₂.

Рис. 1.6.25

Формула для нахождения угла j между прямыми имеет вид:

tg j = k 2 -  k 1 1 + k 1 k 2

(1.6.11)

 

Пример. Найти угол между прямыми y = 2 x – 4 и y = –3 x + 1.

Решение: Найдем угловые коэффициенты этих прямых: k ₁ = 2, k ₂ = –3. (см.

1.6.1). По формуле (1.6.11) получим

tgj =

=    = 1.

Отсюда j = 45º.

 

Ответ: j = 45º.

Пример. Найти угол между прямыми 2 x + 4 y + 5 = 0 и x + 2 y – 3 = 0.

 

Решение: По формуле (1.6.5) найдем угловые коэффициенты прямых: k ₁ =

– ²/₄ = – ¹/₂; k ₂ = – ¹/₂. Применяем формулу (1.6.10):

 

tgj =

 

=  0

 

= 0.

Отсюда j = 0º. Прямые параллельны.

 

                                  

 

Ответ: j = 0º.

 

 

Пример. Найти угол между прямыми 2 x + 3 y – 2 = 0 и x – y + 4 = 0.

Решение: По формуле (1.6.5) найдем угловые коэффициенты:

k ₁ = – ²/₃, k ₂ = –¹/_(–1) = 1.

1 - (- 2  )     5

Применим формулу (1.6.11)

_{tg j =} 3  - =  3  = 5, отсюда j = arctg 5.

 

Ответ: j = arctg 5.

1 + 1(- 23)  1

3

 

 

 

Пример. Найти угол между прямыми 3 x + 5 y + 1 = 0 и 5 x – 3 y – – 2 =

0.

 

Решение: Находим угловые коэффициенты прямых: k ₁ = – ³/₅, k ₂ = – ⁵/_(–3)

= ⁵/₃. По формуле (1.6.11) имеем

5 - (- 3  ) 34

tg j =    3    5  = 15  .

Тангенс угла j не существует, следовательно, угол

1+ (- 3) 5  0

5 3

j = 90º. Прямые взаимно перпендикулярны.

Ответ: j = 90º.

 

Условие параллельности двух прямых

Рис. 1.6.26

Пусть даны две прямые l ₁: y = k ₁ x + b ₁ и l ₂: y = k ₂ x + b ₂.

Так как прямые параллельны, то они имеют одинаковый угол наклона α с осью Ox и, следовательно, одинаковые угловые коэффициенты: k ₁ = = k ₂.

Эту же формулу можно получить и другим способом. Угол между параллельными прямыми равен 0º, т.е. j = 0º, tgj = tg0º = 0. Из формулы

(1.6.11) получим

tgj =

= 0. Отсюда k ₁ – k ₂ = 0,

 

 

k 1 = k 2

(1.6.12)

Таким образом, условием параллельности прямых является равенство их угловых коэффициентов.

 

 

Пример. Определить, какая из двух прямых l ₁: 2 x + y – 7 = 0 или l ₂: 4 x – 2 y

+ 1 = 0 – параллельна третьей прямой l ₃: 4 x + 2 y + 3 = 0.

Решение: По формуле (1.6.5) находим угловые коэффициенты каждой

прямой.

k = - 2 = – 2;

1   1

 

k = - 4

2  -2

= 2; k 3

= - 4 = -2.

2

Имеем: k ₁ = k ₃, следовательно, l ₁ || l ₃ (по 1.6.12).

Ответ: l ₁ || l ₃.

В том случае, когда параллельные прямые заданы общими уравнениями, можно использовать геометрический смысл коэффициентов А и В. Напомним,  что  в  уравнении   Ax   +   By   +   C   =  0  числа   А   и   В   определяют

координаты  нормального  вектора n = (A, B).   Поэтому рассмотрим другое

решение приведенного выше примера.

Решение: Две прямые будут параллельны, если их нормальные векторы будут коллинеарны. Выпишем нормальные векторы данных прямых:` n <sub>1</sub> = (2, 1), ` n ₂ = (4, –2). ` n ₃ = (4, 2). Проверим пропорциональность координат:

2 ¹ 1;

          

4 ¹ - 2;

          

2 = 1.       Координаты      векторов` n <sub>1</sub>      и` n ₃

         

4 - 2 4  2  4 2

пропорциональны, то есть ` n <sub>1</sub> ||` n ₃. Следовательно, прямые l ₁ || l ₃.

Ответ: l ₁ || l ₃.