Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Основные элементарные функции. Элементарные функции
Основные элементарные функции Основными элементарными функциями называются следующие: y = x a ( a - любое действительное число) - степенная функция. При различных a графики этой функции будут различны, на рис. 8 приведены графики степенной функции при некоторых значениях показателя a .
Функция
y = a x
(a > 0, a ¹ 1) Рис. 8 - показательная функция, ее графики приведены на рис. 9. Мы видим, что при a >1 функция y = a x является возрастающей, а при 0 < a < 1 - убывающей;
Функция
y = loga x
(a > 0, a ¹ 1) Рис. 9 - логарифмическая функция, ее графики при различных значениях основания a приведены на рис. 10. При a >1 логарифмическая функция возрастает, при 0 < a < 1 - убывает (рис.10).
Рис. 10 Далее следуют тригонометрические функции y = sin x,
y = cos x, y = tg x, y = ctg x, их графики приведены, соответственно, на рис. 11, 12, 13, 14. Функция y = sin x, ограниченная (sin x £ 1), нечетная функция с периодом l = 2 p (рис. 11).
Рис. 11 Функция y = cos x, ограниченная ( cos x £ 1), четная функция с периодом l = 2 p (рис. 12).
Функция Рис. 12 y = tg x, периодическая функция с периодом
l = p
(рис. 13).
Функция Рис. 13 y = ctg x, периодическая функция с периодом
l = p
(рис. 14).
Рис. 14 Обратные тригонометрические функции y = arcctg x
y = arcsin x,
y = arccos x,
y = arctg x, Функция y = arcsin x. Область определения этой функции отрезок [-1;1], множество значений – отрезок é- p ; p ù . Ее график приведен на рис. 15. ëê 2 2 úû Рис. 15 Функция y = arccos x. Область определения функции y = arccos x - отрезок [-1, 1], множество значений – отрезок [0, p ]. График этой функции приведен на рис. 16. Рис. 16 Функция y = arctg x. Область определения этой функции вся числовая ось (- ¥; + ¥), множество значений – открытый интервал æ- p ; p ö , график
функции
y = arctg x ç ÷
приведен на рис. 17. Рис. 17 Функция y = arcctg x. Область определения этой функции вся числовая ось (- ¥; + ¥), множество значений – открытый интервал (0; p), график функции y = arcctg x приведен на рис. 18.
Рис. 18 Элементарные функции Функции, полученные из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и конечного числа операций взятия функции от функции, называются элементарными.
Всякая элементарная функция может быть задана одной формулой на всей области своего определения. Например, y = log 2 (cos 2 x + 1) 3 x 2 + x
, y = sin 3 æ x ö - 5 × 2- x 2
По сути дела, любая функция, закон соответствия которой задан одной формулой, является для нас элементарной, пока мы не овладеем другими знаками записи формул, кроме знаков арифметически операций и символов, которыми обозначаются основные элементарные функции.
Предел функции. Понятие о сходимости числовой Последовательности. Предел переменной величины. Из разнообразных способов поведения переменных величин наиболее важен такой, при котором переменная величина стремится к некоторому пределу. В этом случае значения, принимаемые переменной величиной y, становятся сколь угодно близкими к некоторому постоянному числу a - пределу этой переменной величины. Определение предела имеет простой геометрический смысл: неравенство y - a < e означает, что y находится в e - окрестности точки a, то есть в интервале (a - e, a + e) (рис. 19). Таким образом, можно дать определение предела переменной величины в геометрической форме. Число a называется пределом переменной величины y, если для любой (сколь угодно малой) e - окрестности точки a можно указать такой момент в изменении переменной y, начиная с которого все ее значения попадают в e - окрестности точки a (рис. 19 и 20).
Записывается это следующим образом a = lim y (lim - первые буквы слова limes - предел) или y ® a. Процесс приближения к пределу необходимо понимать в динамике: взяли некоторую e - окрестность точки a, начиная с некоторого момента все значения переменной y попадают в эту окрестность; теперь возьмем e 1 < e , начиная с некоторого (более отдаленного) момента все значения переменной
y попадают в e 1 т.д. (рис. 20). - окрестность (меньшую по сравнению с первой) точки a и Однако, в определении предела осталась нерасшифрованной весьма существенная фраза: «начиная с некоторого момента в процессе изменения переменной величины y».
2.1.2. Предел функции. Предел функции при x ® ¥ . Пусть функция y = f (x) задана на интервале (p; + ¥). Определение. Число a называется пределом функции f (x) При x ® +¥, если для любого сколь угодно малого положительного числа e найдется такое число N, зависящее от e (N = N (e)), что для всех x > N выполняется неравенство f (x)- a < e. Здесь переменная, стремящаяся к пределу, это функция f (x); оставшаяся нерасшифрованной в общем определении предела переменной фраза «начиная с некоторого момента» в этом случае расшифровывается как «для всех x, больших некоторого N». Применяемое в этом случае обозначение предела таково: lim x ®+¥ f (x) = a. Геометрически тот факт, что a = lim x ®+¥ f (x) означает следующее (рис. 21). Возьмем произвольное e > 0 и на оси ординат, на которой откладываются значения функции при построении графика, построим e - окрестность точки a; через концы интервала (a - e, a + e) проведем горизонтальные прямые y = a - e и y = a + e. Между этими прямыми образуется полоса, которую называют e - полосой вокруг прямой y = a. Смотрим, когда границы e - полосы при движении вправо в последний раз пересекут график функции, эту точку спроектируем на ось абсцисс и получим искомое N. При всех x > N график функции расположен внутри e - полосы (при этом f (x)- a < e).
Рис. 21 Аналогично тому, как был определен
lim x ®+¥
f (x), определяются пределы lim x ®-¥ f (x) и lim x ®¥ f (x). В последнем случае предполагается, что x ® +¥ и x ® -¥ .
2.1.2. Предел функции. Предел функции при x ® x 0 (предел функции в точке). Дадим определение предела функции при x стремящемся к конечному значению x 0. Будем считать, что функция y = f (x) определена во всех точках некоторого интервала (a, b), содержащего точку x 0, кроме, быть может, самой точки x 0. Если при неограниченном приближении точки x к точке x 0 значения функции f (x) неограниченно приближаются к некоторому числу a, то говорят, что число a является пределом функции f (x) при x стремящемся к x 0 (x ® x 0 ). В этом случае слова «начиная с некоторого момента…», содержащиеся в общем определении предела переменной расшифровываются следующим образом: для всех значений x достаточно близких к x 0 или, еще более точно, для всех точек x из некоторой достаточно малой окрестности точки x 0 (эту окрестность обычно называют d - окрестностью (дельта-окрестностью) точки x 0). Итак: Определение. Число a называется пределом функции f (x) При x ® x 0 (или в точке x 0), если для любого сколь угодно малого положительного числа e существует такое положительное число d, зависящее от e , что для всех точек x из d - окрестности точки x 0, исключая быть может саму точку x 0 (то есть для всех x, для которых выполняется неравенство 0 < x - x 0 < d), выполняется неравенство f (x)- a < e. Геометрический смысл определения предела функции в точке x 0 представлен на рис. 22.
Рис. 22 Опять отметим e -окрестность точки a на оси OY (оси значений функций) и проведем e - полосу вокруг прямой y = a; отметим точки пересечения прямых y = a + e и y = a - e с графиком функции f (x), спроектируем эти точки на ось абсцисс и получим граничные точки d - окрестности точки x 0. Видим, что как только x попадает в d - окрестность точки x 0, значение функции y = f (x) попадает в e -окрестность точки a. Еще раз подчеркнем, что f (x) может и не быть определенной в точке x 0, но даже если она в этой точке определена, то значение f (x 0 ) в определении предела не участвует; важны лишь значения f (x) при значениях аргумента, близких к x 0. Поэтому не следует считать, что lim x ® x 0 f (x) обязан совпадать с f (x 0 ) (хотя, конечно, в большинстве случаев это так).
2.1.2. Предел функции.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-02-07; просмотров: 562; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.145.2.184 (0.06 с.) |