Односторонние пределы функции при

x ® x 0.

Давая определение предела функции

f (x)

в точке

x 0, то есть при

x ® x 0,

мы не уточняли как x приближается к

x 0 ; x могло подходить к

x 0 как

угодно: и справа и слева, лишь бы

x ® x 0.

Но иногда при исследовании поведения функции вблизи некоторых точек

нужно знать, к чему стремится f (x), когда x ® x 0, оставаясь справа от x 0  (то

есть при

x > x 0) или оставаясь слева от

x 0 (то есть при

x < x 0). Такие пределы,

если они существуют, называются соответственно правым и левым

пределами функции f (x) в точке x 0. Обозначают их следующим образом:

lim

x ® x 0 x > x 0

f (x) =

lim

x ® x 0 +0

f (x) =

f (x 0  + 0) - предел справа;

lim

x ® x 0 x < x 0

f (x) =

lim

x ® x 0 -0

f (x) =

f (x 0  - 0) - предел слева.

Существование обычного предела функции

f (x)

в точке x 0

lim

x ® x 0

f (x) = a

равносильно тому, что в точке равны между собой и равны a:

x 0 существуют и правый и левый предел, они

f (x 0  - 0) =   f (x 0  + 0) = a.

 

2.1.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Бесконечно малые переменные величины. Свойства бесконечно малых.

Бесконечно малые переменные величины.

Переменная величина a называется бесконечно малой, если она

стремится к нулю (то есть число нуль является ее пределом): lim a = 0.

Таким образом, переменная величина a   является бесконечно малой, если для любого сколь угодно малого положительного  числа  e  , начиная с

некоторого момента в изменении a  , выполняется неравенство a < e.

Более подробно это определение можно записать, используя определения

предела последовательности и предела функции (при

x ® ¥

и при

x ® x 0),

положив в них a = 0.

Бесконечно малые переменные величины принято обозначать начальными буквами греческого алфавита - a, b, g,....

Замечание. Никакое, отличное от нуля постоянное число, как бы ни было оно мало по абсолютной величине, не может быть бесконечно малой величиной, так как бесконечно малая – это всегда переменная величина, процесс изменения которой обусловлен данным выше определением.

Примеры бесконечно малых переменных:

 

1) Функция

y = 2 ^x является бесконечно малой при

æ 1 ö x

x ® -¥ .

2) Функция

y = ç ÷ является бесконечно малой при

x ® +¥.

 

3) Функция

è 2 ø

y = x 2  является бесконечно малой при

Свойства бесконечно малых.

x ® 0.

 

1) Сумма или разность двух бесконечно малых величин является величиной бесконечно малой.

2) Произведение бесконечно малой величины a на ограниченную переменную y является бесконечно малой.

3) Произведение двух бесконечно малых величин является величиной бесконечно малой.

Докажем одно из этих утверждений, допустим второе.

Итак, пусть a - бесконечно малая переменная величина, а y -

ограниченная переменная, то есть существует такое число M > 0, что для

всех значений переменной y выполняется неравенство y £ M. Рассмотрим

переменную

b = a × y. Возьмем произвольное

e > 0, так как a   - бесконечно

малая, то начиная с некоторого момента в процессе ее изменения будет

выполняться неравенство

a < e

M

. Таким образом, для произвольного e

выполняется неравенство b < e, начиная с некоторого момента в изменении

b, а это означает, что требовалось доказать.

lim b = 0, то есть b является бесконечно малой. Что и

 

2.1.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

2.1.3.2. Теорема   о       разности   между     переменной      величиной и           ее пределом.

1) Если переменная величина y имеет предел a, то ее можно представить

в виде суммы этого предела и величины бесконечно малой: где a   - бесконечно малая.

y = a + a,

2) (Обратное утверждение). Если  переменная  величина y     может  быть

представлена в виде суммы постоянного числа a   и бесконечно малой

величины, то есть в виде: y = a + a, где a - бесконечно малая, то число

a является пределом переменной y: a = lim y.

Докажем утверждение 1. Нам дано, что

y ® a. Тогда для любого

e > 0

будет выполняться неравенство

y - a

< e, начиная с некоторого момента в

изменении y. Обозначим

y - a = a

(a - переменная величина, которая

меняется вместе с y), начиная с некоторого момента  в  изменении y (a

значит и a  ) будет выполняться неравенство a < e. Значит a - бесконечно

малая величина, но и бесконечно малой.

y = a + a, то есть y представляется в виде суммы предела

Теперь докажем обратное утверждение 2. Нам дано, что

некоторое число, a   - бесконечно малая. Тогда для любого

y = a + a, где a -

e > 0, начиная с

некоторого момента в изменении a будет  выполняться неравенство  a < e.

Но a = y - a, значит, начиная с некоторого момента в изменении y будет

выполняться неравенство

y - a

< e. А это как раз и означает, что

lim y = a.

 

2.1.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Основные свойства пределов.

1) Предел постоянной величины

y = C

есть само число C. Это свойство

очевидно: переменная y принимает единственное значение C, поэтому

y - С

= С - С

= 0 < e; следовательно,

lim y = C.

2) Пусть есть две переменных величины x и y, каждая из которых имеет предел. Тогда их сумма также имеет предел и этот предел равен сумме пределов слагаемых:

lim(x + y) = lim x + lim y. Приведем доказательство этого утверждения.

 

Пусть

lim x = a,

lim y = b. Тогда по теореме о разности между переменной

величиной и ее пределом x = a + a, y = b + b, где a   и b - бесконечно малые.

Отсюда x + y = a + a + b + b = a + b + (a + b). Сумма a + b

является бесконечно

малой, так как сумма бесконечно малых (по свойству бесконечно малых)

является бесконечно малой; значит, переменная x + y представляется в виде

суммы постоянного числа

a + b

и бесконечно малой. Тогда по теореме о

разности между переменной величиной и ее пределом (обратное утверждение)

lim (  x + y) = a + b = limx + lim y.

3) Если  переменные  величины x и y имеют пределы, то предел их произведения равен произведению пределов:

limxy = limx × lim y.

Доказательство этого факта аналогично доказательству свойства 2.

Следствия:

1) Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

В самом деле, пусть

lim y = a, тогда

lim Cy = lim C ×lim y = C ×lim y.

2) Если переменные x и y имеют пределы, то предел разности равен разности пределов:

 

 

В самом деле:

lim (  x - y) = lim x - lim y

lim (  x - y) = limx + lim (- y) = limx + lim (-1) × lim y = limx - lim y.

3) Предел степени равен степени предела:

lim y a = (lim y) a  .

4) Если  переменные  величины x и y имеют пределы и lim y ¹ 0, то

существует предел частного

их пределов:

x этих переменных и он равен частному

y

lim x =  lim x.

y lim y

Применим рассмотренные нами свойства пределов к решению примеров.

1) lim x = -1. Найти lim(x ² + x +1).

lim(x ² + x +1 ) = limx ² + limx + lim 1 = (limx)² + limx + lim 1 = (1)² + (-1) +1 = 1

(мы использовали свойства 1, 2 и 3).

x ² - 2

2) lim x = 3. Найти lim

x + 8.

x ² - 2

lim (x ² - 2)

lim x ² - lim 2

(lim x)2  - 2

9 - 2 7

lim

=              =                =              =    =

 

x + 8

lim (x + 8) lim x +  lim 8   lim x + 8  3 + 8 11

(мы использовали свойства 1,2,3 и 4).

Вместо того, чтобы записывать «найти

 

lim f (x), если

 

lim x = x 0», пишут

«найти

lim f (x)».

x ® x 0

 

 

2.1.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.