Тема 2. 2. Приращение функции. Непрерывность функции в точке и на интервале. Точки разрыва, их классификация.

2.2.1. Приращение функции. Непрерывные функции. Два определения непрерывности функции в точке, их эквивалентность (равносильность).

2.2.2. Свойства непрерывных функций.

2.2.3. Непрерывность элементарных функций.

2.2.4. Точки разрыва функции и их классификация.

2.2.5.
Свойства функций, непрерывных на замкнутом интервале.

2.2.1. Приращение функции. Непрерывные функции. Два определения непрерывности функции в точке, их эквивалентность (равносильность).

Определение 1. Функция y = f (x) называется непрерывной в точке x 0,

если она определена в этой точке и некоторой еѐ окрестности, существует

lim

x ® x 0

lim

x ® x 0

f (x), и этот предел равен значению функции в точке

f (x) = f (x 0).

x 0, то есть

 

Мы сейчас подробно расшифруем это определение “на языке будет почти таким же, как определение предела функции в точке

e - d “, оно

x 0, только

вместо числа a, никак (в общем определении предела) не связанного со

значением функции в предельной точке

x 0, в нѐм будет фигурировать самое

естественное число из всех, которые могут встретиться в этой ситуации, это число f (x 0 ).

Функция y = f (x) называется непрерывной в точке x 0, если она

определена в этой точке и некоторой еѐ окрестности и для любого (сколь угодно малого) положительного числа e существует такое положительное

число d, зависящее от e (d = d (e)), что для всех значений x из d -окрестности

точки

x 0, то есть для всех значений x, для которых выполняется неравенство

x - x 0

< d, будет выполняться неравенство   f (x)- f (x 0 ) < e.

Заметим, что в этом определении не нужна оговорка

x ¹ x 0, которая была

в определении предела, так как при

x = x 0

f (x)- f (x 0 ) =   f (x 0 )- f (x 0 ) = 0 < e.

Из этого определения следует, что в точке непрерывности можно менять

местами символы функции и предела:

lim f (x) = f æ lim x ö .

ç

÷

x ® x 0               è  x ® x 0 ø

В самом деле, если

x 0 - точка непрерывности функции

f (x), то

 

lim

f (x) =

f (x 0) = f ç

 

lim

ö

x ÷ .

æ

x ® x 0                                 è  x ® x 0  ø

Это используется при вычислении пределов, а именно: если нам  надо

найти предел функции f (x) в точке x 0, которая является точкой

непрерывности этой функции, то надо в выражение этой функции подставить

вместо x его предельное значение

x 0.

 

Теперь перейдѐм ко второму определению непрерывности функции в точке. Нам понадобится ещѐ одно важное понятие - это понятие приращения переменной величины.

Приращением переменной величины называется разность между двумя еѐ значениями.

Приращение переменной величины x обозначается D x (дельта x).

Пусть в начальный момент (начальный для нашего рассмотрения)

переменная величина имела значение

x 0, а затем в процессе своего изменения

приняла  какое-то  значение x, разность между еѐ  новым  значением x и

старым значением

Величины.

x 0   - это приращение

D x = x - x 0

Этой переменной

Теперь в качестве переменной величины возьмем функцию

y = f (x).

Приращение функции, согласно определению, это разность между двумя различными значениями функции, то есть между значениями функции в двух

различных точках (например, x и

x 0) (рис. 29).

 

 

D y = f (x)- f (x 0 ) = f (x 0  + D x)- f (x 0 ) = D f

Рис. 29

– это приращение функции

y = f (x) в

Точке

x 0, соответствующее приращению аргумента

D x.

Таким образом, чтобы получить приращение функции, надо придать

приращение еѐ аргументу; приращение функции зависит от точки Приведем второе определение непрерывности функции в точке.

x 0.

Определение 2. Функция

y = f (x)

называется непрерывной в точке

x 0,

если она определена в этой точке и некоторой еѐ окрестности и бесконечно

малому приращению аргумента D x соответствует бесконечно малое

приращение функции D y

в точке

x 0, то есть

lim

D x ®0

D y = 0

(D y =

f (x 0 + D x)- f (x 0)).

Два определения непрерывности функции эквивалентны.

Докажем, например, что из первого определения непрерывности функции в точке следует второе.

Пусть

lim

x ® x 0

f (x) = f (x 0), тогда по теореме о разности между переменной

величиной и еѐ пределом следует, что

f (x) =   f (x 0 )+ a,  где   a -  бесконечно

малая при x ® x 0, то есть при D x ® 0. Но

a =   f (x)- f (x 0 ) = D y, таким образом,

D y является бесконечно малой при

D x ® 0

или

lim

D x ®0

D y = 0.

Аналогичными рассуждениями устанавливается, что из второго определения следует первое.

 

 

2.2.2. Свойства непрерывных функций.

1) Теорема о непрерывности результата арифметических действий над непрерывными функциями.

Если функции f (x) и j (x) непрерывны в точке

x 0, то их сумма f (x)+ j (x),

разность f (x)- j (x), произведение

f (x)× j (x),  и,  если j (x 0 ) ¹ 0,  частное

 f ( x )

j (x) -

также непрерывны в точке

Доказательство.

x 0.

Докажем справедливость этой теоремы для случая произведения двух функций (все остальные утверждения доказываются аналогично).

Рассмотрим функцию y (x) = f (x)× j (x). Чтобы проверить еѐ непрерывность в

точке

x 0, найдѐм

lim

x ® x 0

y (x):

lim y (x) =  lim f (x)×j(x) =  lim f (x  )×  lim j(x  ) =  f (x ₀ )×j(x ₀ ) =  y (x ₀ ).

x ® x 0

x ® x 0

x ® x 0

x ® x 0

 

(Сначала мы воспользовались теоремой о пределе произведения, а затем

воспользовались непрерывностью функций f (x) и j (x) в точке x 0.

Таким образом,

lim

x ® x 0

y (x) = y (x 0), то есть функция

y (x) непрерывна в точке

x 0).