Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали к кривой. Механический смысл производной.

Возьмем на непрерывной кривой L две точки M₀ и М ₁. Прямую М₀М ₁ проходящую через эти точки, называют секущей. Пусть точка М ₁ приближается по кривой к точке М₀, тогда секущая М₀М ₁ занимает разные положения.

Определение. Касательной к кривой L в точке М₀ называется предельное положение М₀Т секущей М₀М ₁, когда точка М ₁ неограниченно приближается по кривой к точке М₀.

Геометрический смысл производной.

Значение производной f ¢(x 0) равно угловому коэффициенту касательной

к графику функции f(x) в соответствующей точке М₀(х₀, f(х₀)):

k =   f ¢(x 0 ).

Уравнение касательной.

Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через точку М₀(х₀,y₀) с заданным угловым коэффициентом k:

y - y 0 = k (x - x 0).

Так как для касательной y₀=f(x₀), k = t g a =   f ¢(x 0 ), то уравнение касательной имеет вид

 

Уравнение нормали

Нормалью к кривой L в точке М₀(х₀,y₀) называется прямая, проходящая через точку М₀ и перпендикулярная касательной в этой точке.

Так как нормаль перпендикулярна касательной, то еѐ угловой коэффициент

k = -  1  = -   1

(если

f ¢(x

) ¹ 0).

норм.

k к а с.

f ¢(x 0 )                  ⁰

Поэтому уравнение нормали имеет вид

y - f (x 0

) = -

1

 

f ¢(x 0)

(x - x 0

) , или

 

 

Пример. Составить уравнения касательной и нормали к кривой y =

в точке с абсциссой x₀ = 4.

Решение. Найдѐм y₀ = f(x₀) =     = 3.

Производная функции имеет вид:

y' =       .

Вычислим угловой коэффициент касательной:

k кас. = f '(x 0) =

= 1.

6

Составим уравнение касательной по формуле

y – y₀ = k_кас. (x – x₀):

y – 3 =

1 (x – 4) или x – 6y + 14 = 0.

6

Найдѐм угловой коэффициент нормали:

k норм. =

- 1

k кас.

= - 6.

Запишем уравнение нормали по формуле   y – y₀ = k_норм.(x – x₀):

y – 3 = - 6(x - 4), или 6x + y – 27 = 0.

 

Механический смысл производной.

Скорость v прямолинейного движения материальной точки в момент времени t есть производная от пути S по времени t:

v = S ¢(t).

Пример. Пусть S =

1 gt ²

2

(g – постоянное ускорение свободного

падения), тогда скорость v(t) = S'(t) = gt.

Правила дифференцирования. Производная суммы, произведения и частного функций

Теорема. Если функции u(x) и v(x) имеют производные в точке х₀, то в этой точке имеют производные их сумма, разность, произведение и частное (при условии, что частное имеет знаменатель v(x₀)≠0), причем справедливы следующие формулы:

(u ± v) ¢ = u ¢ ± v ¢;

(uv) ¢ = u ¢ v + uv ¢ ;.

u   ¢ u ¢ v - uv ¢

ç v ÷

æö =

è ø    v 2

 

Пример. Найти производную функции

y = (5arctg x + 3 ^x)(log2 x - cos x).

Решение. По формуле производной произведения получим:

2                                                                     2

y¢ = (5arctgx + 3^x)¢(log x - cosx) + (5arctgx + 3^x)(log x - cosx)¢ =

= æ 5 + 3^x ln3ö(log x - cosx) + (5arctgx + 3^x) æ 1

 

+ sinx ö.

ç 1 + x2           ÷  2

ç xln2      ÷

è                 ø                                          è             ø

 

Пример. Найти производную функции

Решение.

x ² + x - 1

y =            .

10 ^x

По формуле производной частного получим:

æ  x ² + x -1ö¢

(x ² + x -1)¢×10 ^x - (x ² + x -1) × (10 ^x)¢

y ¢ = ç

è

÷ =

10 ^x ø

=

(10 ^x)²                         .

=

(2 x +1) ×10 ^x - (x ² + x -1) ×10 ^x ln10

.

102 x

Производная сложной функции

Теорема. Пусть функция u=u(x) имеет производную в точке х, а функция y=f(u) имеет производную в соответствующей точке u=u(x). Тогда сложная функция y=f(u(x)) имеет производную в точке х, которая находится по формуле:

y¢x = f(u) × u¢(x).

Пример. Найти производную функции y=lnarcsinx.

 

Решение. Положим: u=arcsinx, тогда y=ln u. Производная сложной функции равна:

y ' = (ln u)'× u ' = 1 × u ' =

u

1 × 1  =        1      . arcsin x

2.3.6. Дифференцирование обратной функции

Теорема. Пусть функция

y = f (x)

возрастает (или убывает) в некоторой

окрестности точки

x 0 и имеет непрерывную обратную функцию

x = g (y).

Если в точке

x 0 функция

y = f (x)

имеет производную

y ¢ x    =

f ¢(x 0) ¹ 0, то

обратная функция имеет производную в соответствующей точке причем

y 0 = f (x 0),

x ¢ = g ¢(y) = 1    или x ¢ = 1.

                                                                                               

x

0

^{y         0}  f ¢(x  )               ^y y ¢

 

Производная функции y = arctgx.

Функция

y = arctgx,

определенная на бесконечной прямой

-¥ < x < +¥,

является обратной для функции

x = tgy,

определенной на интервале

- p   <

2

y < p  . Из формулы следует, что

2

y ¢ = (arctgx) ¢ = 1  = 1 =  1  =        1        = 1 = 1.

                                                             

^x                  x ¢ (tgy) ¢ æ 1 ö æ  sin ² y + cos ² y ö tg ² y + 1 x ² + 1

^y             ç      ÷ ç                  ÷

 

Итак,

 

(arctgx)¢ =

 

1.

1 + x ²

è  cos ² y ø è

cos ² y  ø

 

2.3.7. Производная функции, заданной параметрически

Теорема. Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрическими уравнениями:

ì  x = j (t),

î

í  y = y (t),

t Î(a, b),

где   t   –  вспомогательная  переменная,  называемая  параметром.  Пусть

функции j (t) и y (t) имеют производные в  некоторой точке t Î(a, b):

y t ¢ =  y   ¢(t), x t ¢ =  j   ¢(t) ¹ 0. Кроме того, функция x = j (t) в окрестности точки t

имеет обратную функцию t = g (x).

Тогда определенная параметрическими  уравнениями  функция y=f(x)

также имеет производную в точке x = j (t), причем

 

Пример. Найти производную функции, заданной параметрически:

ì x = t ³ + 5 t,.

î

í  y = t ² - t + 2.

 

Решение. Имеем:

x ' t = 3 t ² + 5,

y ' t = 2 t - 1.

Следовательно, производная равна:

y ' x =

y ' t

x ' t

= 2 t - 1.

3 t ² + 5

 

Пример. Найти производную функции, заданной параметрически:

ì x = 3cos³ t,

î

í  y = 3sin ³ t.

Кривая, определяемая этими уравнениями, называется астроидой.

Решение. Имеем: x'_t = 9cos ²t^˙(- sin t) = - 9cos² t sin t,

y'_t = 9sin² t ^˙cos t.

По формуле  производная функции, заданной параметрическими уравнениями, равна:

t

¢ y' t

9sin ² t ^. cos t     sin t

y x = x '

= - 9cos² t ^. sin t = - cos t = - tgt.

 

ЛЕКЦИЯ 9

Производные высших порядков

Если функция f(x) в каждой точке некоторого промежутка имеет производную, то эта производная f '(x) является новой функцией на данном промежутке. Если функция

f '(x) тоже имеет производную, то еѐ производная называется второй производной или производной второго порядка и обозначается y" или f"(x). Таким образом, по определению:

 

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется третьей производной или производной третьего порядка и обозначается y"' (или f'"(x)):

 

f″′(x) = (f ″(x))'

.

 

Производной n -го порядка (или n -й производной) называется производная от производной (n – 1) порядка:

 

f^(n)(x) = (f^(n-1)(x))'

.

 

Начиная с производной четвѐртого порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках (y^IV или y⁽⁴⁾ – производная четвѐртого порядка).