Свойства функций, непрерывных на замкнутом интервале.

До сих пор, говоря о непрерывности, мы имели в виду непрерывность

функции в точке. Пусть теперь функция f (x) задана на некотором интервале.

Совершенно естественно было бы назвать функцию f (x) непрерывной на

интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Но такое определение не подходит для случая, когда интервал замкнут, то есть в него включены граничные точки (концы интервала). Дело в том, что давая определение непрерывности функции в точке, мы предполагали, что функция определена в целой окрестности этой точки, а в концах интервала это условие нарушается. Поэтому придѐтся пояснить, что мы будем понимать

под непрерывностью функции f (x) в концах замкнутого интервала [ a, b ], то

есть в точках a и b.

Будем говорить, что функция f (x) непрерывна в левом конце интервала

[ a, b ], то есть в точке a, если в этой точке существует правый предел f (a + 0) и

он равен значению функции в левом конце, то есть f (a + 0) = f (a).

Будем говорить, что функция f (x) непрерывна в правом конце интервала

[ a, b ], то есть в точке b, если в точке b существует левый предел f (b - 0) и он

равен значению функции в правом конце, то есть f (b - 0) = f (b).

Получаем следующее определение.

Определение.   Функция f (x) называется непрерывной на  замкнутом

интервале [ a, b ], если она непрерывна в каждой внутренней точке этого

интервала, имеет правый и левый пределы f (a + 0) и f (b - 0) (на левом и

правом концах интервала соответственно) и f (a + 0) = f (a); f (b - 0) = f (b).

 

Теперь приведѐм (без доказательства) формулировки двух очень важных свойств функций, непрерывных на замкнутом интервале, которыми неоднократно будем пользоваться в курсе математического анализа.

Свойство 1. Если функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [ a, b ],

то она на этом интервале достигает своего наибольшего и наименьшего значений.

Это означает, (см. рис. 32) что существует такая точка   x 1 Î[ a, b ] (хотя бы

одна),  значение  функции  в  которой f (x 1 ) = M является  наибольшим  среди

всех значений, принимаемых функцией f (x) на этом интервале, то есть

f (x 1 ) ³   f (x) для всех   x    из интервала [ a, b ].

Точно также существует хотя бы одна точка x 2 Î[ a, b ], значение функции в

которой   f (x 2) = m   является наименьшим  среди всех  значений,  принимаемых

функцией на этом интервале, то есть

[ a, b ].

f (x 2 ) £   f (x)

для любого x из интервала

 

Рис. 32

На рис. 56 точка, в которой достигается наибольшее значение

единственна, и это левый конец интервала [ a, b ] (x 1 = a); точка, в которой

достигается наименьшее значение также единственна и она находится внутри

интервала [ a, b ] (точка x 2).

Следствие. Если функция непрерывна на замкнутом интервале, то она на этом интервале ограничена.

Действительно, согласно свойству 1, функция на замкнутом интервале достигает своего наибольшего M и наименьшего значения m, поэтому для

любого x из этого интервала выполняется неравенство m £ f (x) £ M.

Свойство 2. Если функция непрерывна на замкнутом интервале, то она на этом интервале принимает любое значение, заключенное между еѐ наименьшим и наибольшим значениями на этом интервале.

Это означает следующее: пусть   m   (m   - греческая буква, читается “мю”)

какое-либо число между m и M m £ m £ M, найдѐтся хотя бы одно значение

x Î[ a, b ], для которого f (x) = m (рис. 33). Это свойство называют теоремой о промежуточном значении.

Следствие. Если непрерывная на замкнутом интервале функция принимает на его концах значения с разными знаками, то внутри интервала обязательно найдѐтся хотя бы одна точка, в которой эта функция обращается в нуль (иными словами, внутри интервала найдѐтся хотя бы один корень

уравнения f (x) = 0). На рис. 34 это точки x 1 и x 2.

 

Рис. 33

Рис. 34

 

 

 

ТЕМА 2. 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. Производная функции, ее геометрический и механический смыслы. Правила дифференцирования Параметрическое задание функции. Циклоида, ее свойства и применение.

2.3.1. Определение производной.

2.3.2. Таблица производных. Вывод некоторых табличных производных.

2.3.3. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали к кривой. Механический смысл производной.

2.3.4. Правила дифференцирования.

2.3.5. Производная сложной функции.

2.3.6. Дифференцирование обратной функции.

2.3.7. Производная функции, заданной параметрически. Циклоида, еѐ свойства и применение.

2.3.8. Производные высших порядков.

 

2.3.1. Определение производной

Рассмотрим функцию точки х.

y = f (x), определенную в некоторой окрестности

Пусть аргумент х   получил приращение ∆х, тогда функция получит

приращение D y = f (x + D x)- f (x).

 

Обозначения производной:

f ¢ (x), y ¢, y ¢ x

, dy.

dx

Если производная существует во всех точках некоторого промежутка

(a,b), то еѐ можно рассматривать как новую функцию f ¢(x).

Операция нахождения производной  от  функции f(x) называется дифференцированием этой функции.

Теорема. Если функция

y = f (x)

имеет в некоторой точке x 0

производную, то она в этой точке непрерывна.

Обратная  теорема  неверна: непрерывная функция может не иметь производной. В качестве примера рассмотрим функцию

î

y = x = ì

x, если x ³ 0

Эта функция непрерывная.

í- x, если x < 0

Докажем, что она не имеет производной в

точке х=0. Действительно, в точке х=0 имеем

 

D y =

D x

f (0 + D x) - f (0) =

D x

0 + D x - 0 = D x

D x       D x

= ì 1, если D х > 0,.

í-1, если D х < 0.

î

Отсюда следует, что lim D y не существует, т.е. функция y=|x| не имеет

D x ®0 D x

производной в точке х=0.

 

 

2.3.2. Таблица производных. Вывод некоторых табличных производных

Запишем формулы производных основных элементарных функций.

1.	C ¢ = 0.
2.	(x^a)^¢ = ax^a ^-^1; в частности ¢  1    æ 1  ¢    1         ¢ x ¢ = 1, (  x) =   , ç ö  = -, (x^a) = ax^a ^-^1 2 x  è x ÷    x ^2 ø
3.	(a ^x)¢ = a ^x ln a, (e^x)¢ = e^x
4.	(log   x)¢ = 1, (ln x)¢ = 1, x ¹ 0 ^a      x ln a              x
5.	(sin x)¢ = cos x.
6.	(cos x)¢ = -sin x.
7.	(tgx)¢ = 1 cos ^2 x
8.	(ctgx) ¢ =- 1 sin ^2 x
9.	(arcsin x) ¢ = 1, x < 1. 1- x ^2

10	(arccos x) ¢ = - 1, x < 1. 1- x ^2
11.	(arctgx) ¢ = 1 1+ x ^2
12.	(arcctgx) ¢ =- 1 1+ x ^2

 

 

Вывод некоторых табличных производных.

y = a^x

а) Пусть    , где a>0, a≠1.

Приращение функции D у = a ^{x +D x} - a ^x = a ^x (a ^{D x} -1).

Используя определение производной, найдем производную:

y ' =

lim

D y =

lim

a ^x (a ^{D x} - 1) =

lim

a ^x × D x ln a

= a ^x

ln a,

D x ®0 D x

D x ®0     D x

D x ®0     D x

т.к. по таблице эквивалентных бесконечно малых

a ^{D x} -1

при ∆ х →0.

б) Пусть

y = log a x, где

а > 0, a ¹ 1.

Тогда для любого x >0 приращение функции

D y = log

(x + D x) - log

x = log

x + D x = log

 

æ1 + D x ö.

a                         a            a   x

_a ç  x ÷

è

ø

Используя определение, вычислим производную:

log

æ1 + D x ö

D y             ^a ç  x ÷

D x          1

y ¢ =

lim

D x ®0 D x

= lim

D x ®0

  è       ø =

D x

lim                       =

D x ®0 D x × x × ln a

,

x ln a

так как по таблице эквивалентных бесконечно малых

log

æ1+ D x ö ~

D x. при

 

a ç  x ÷

x ln a

è      ø

∆х →0.

в) Пусть y= sin x.

Тогда

Δy = sin(x + Δx) - sin x = 2sin Δx × cos(x + Δx).

2             2

По определению найдем производную

2sin Δx × cosæ x + Δx ö

 

2 × Δx × cosæ x + Δx ö

 

Δy             2

ç   2 ÷

2     ç   2 ÷

y' = lim = lim                è      ø  = lim              è      ø  = cosx,

Δx®0 Δx

Δx®0                     Δx

Δx®0                   Δx

т.к. по таблице эквивалентных бесконечно малых sin D x D x при ∆ х →0.

2  2

 

 

ЛЕКЦИЯ 8