Условие перпендикулярности двух прямых

Рис. 1.6.27

Если две прямые l ₁: y = k ₁ x +   b ₁ и l ₂: y = k ₂ x + b ₂. взаимно перпендикулярны, то угол между ними j = 90º, Так как tg 90º не существует,

то это означает, что в формуле tgj =

+ k ₁ k ₂ = 0. Отсюда

знаменатель равен нулю, то есть 1

 

 

k 1 k 2 = –1 или k = - 1 2    k 1

(1.6.13)

 

Это и есть условие перпендикулярности двух прямых.

Пример. Определить, какие из следующих пар прямых взаимно перпендикулярны:

a) 2 x – y + 7 = 0  и x + 2 y – 5 = 0 б) x + y – 3 = 0               и 2 x + 3 y + 7 = 0.

Решение: а) По формуле (1.6.5) найдем угловые коэффициенты прямых:

k ₁ = -

2 = 2;

-1

k ₂ = –¹/₂. Проверим условие (1.6.13) k ₁· k ₂ = 2 × (- 1) =

2

= –1.

Условие выполнено, следовательно, прямые перпендикулярны.

б) Аналогично, k

= - 1 = –1; k

= - 2.

k k = (-1)(- 2) = 2 ¹ -1.

 

               

Прямые не

1         1

перпендикулярны.

²   3    1  2                           3   3

 

Если перпендикулярные прямые заданы общими уравнениями, задачу можно решить другим способом. Из того, что прямые перпендикулярны, следует, что их нормальные векторы тоже перпендикулярны (верно и обратное утверждение).

Рассмотрим прямые l ₁: 2 x – y + 7 = 0 и l ₂: x + 2 y – 5 = 0.

Выпишем нормальные векторы этих прямых `  n 1 = (2, -1),

n 2 = (1, 2).

 

Найдем скалярное произведение этих векторов: (`  n 1,`  n 2) = 2·1 + (–1)·2 = 0. Из векторной алгебры известно, что если скалярное произведение векторов

равно нулю, то эти векторы перпендикулярны:`  n 1 прямые l ₁ и l ₂ взаимно перпендикулярны: l ₁ ^ l ₂.

^`  n 2. Следовательно,

 

 

Раздел 1 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛЕКЦИЯ 4

ТЕМА  1.7.  АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.

Уравнения плоскостей и их взаимное расположение. Прямая в пространстве. Вывод уравнений прямой.

Плоскость:

1.7.1 Уравнения плоскостей и их взаимное расположение.

1.7.2. Прямая в пространстве. Вывод уравнений прямой. Условия взаимного расположения прямых в пространстве.

1.7.3. Условия взаимного расположения плоскостей и прямых.

 

1.7.1. Уравнения плоскостей и их взаимное расположение.

Основные определения

Рассмотрим в трехмерном эвклидовом пространстве ³ прямоугольную систему координат Oxyz.

Уравнением поверхности называется такое уравнение F (x, y, z) = 0, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на поверхности, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на поверхности.

Рис.1.7.1

Например, сфера – это геометрическое место точек, равноудаленных от некоторой точки, называемой центром сферы. Так все точки, удовлетворяющие уравнению x ² + y ² + z ² = R ², лежат на сфере радиуса R с центром в точке О (0; 0; 0) (рис.1.7.1.). Координаты любой точки, не лежащей на данной сфере, не удовлетворяют этому уравнению.

Линию в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей. Так на рисунке 1.7.1 пересечением сферы с плоскостью Oxy является окружность радиуса R с центром в точке О.

Простейшей поверхностью является плоскость, простейшей линией в пространстве является прямая.

Плоскость: способы задания.