Свойства смешанного произведения.

1. Геометрический смысл абсолютной величины смешанного произведения:

Абсолютная величина смешанного произведения трех некомпланарных векторов равна объему параллелепипеда (рис. 1.5.11 и 1.5.12), построенного на этих векторах как на ребрах (предполагается, что векторы приведены к одному началу).

 

Рис. 1.5.11

Рис. 1.5.12

 

2. Знак смешанного произведения.

Из доказательства предыдущего свойства следует:

 

3.
Равенство смешанного произведения нулю.

Доказательство достаточности.

►Пусть векторы ā,` b,` c – компланарны (рис. 1.5.13). Если привести их к одному началу, то они лежат в одной плоскости. Согласно определению abc = (éë a,b ùû  ,c). Вектор [ ā,` b ] перпендикулярен плоскости, в которой лежат

векторы ā,` b,` c, значит [ ā,` b ] ^` c и ([ ā,` b ],` c) = 0.

 

Рис. 1.5.13

Доказательство необходимости.

► Пусть

abc = 0. Покажем, что векторы, приведенные к общему началу,

лежат в одной плоскости.

Допустим, что векторы ā,` b,` c некомпланарны, тогда на них, как на ребрах, можно построить параллелепипед, объем которого отличается от нуля,

значит abc ¹ 0, и мы приходим к противоречию.◄

Замечание. В частности, если в смешанном произведении два вектора- сомножителя коллинеарны (равны), то смешанное произведение равно нулю.

Замечание. Для компланарности ненулевых неколлинеарных векторов необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось

нулю: abc = 0.

4. Правило перестановки сомножителей.

Пусть векторы ā,` b,` c некомпланарны и приведены к общему началу (рис.

1.5.14).

Рис. 1.5.14

При любой перестановке сомножителей абсолютная величина смешанного произведения не меняется, т.к. она равна объему параллелепипеда, построенного на трех векторах, измениться может только знак. Причем знак изменяется только в том случае, когда перестановка сомножителей изменяет ориентацию тройки.

Перестановка двух из трех сомножителей смешанного произведения меняет ориентацию тройки векторов, значит, меняется знак смешанного

произведения:

 

                                                      

abc = - bac = - acb = - cba

При круговой перестановке сомножителей (как на рис. 1.5.14 или в обратную              сторону) ориентация тройки не меняется и поэтому знак

смешанного произведения не меняется:

 

                 

abc = cab = bca

Таким образом, мы получили следующее правило.

При круговой перестановке векторов смешанное произведение не меняется, при перестановке двух из трех сомножителей смешанное произведение меняется знак:

 

5.

– сочетательный закон (числовой множитель можно выносить за знак смешанного произведения)

 

(a 1 + a 2 )bc = a 1 bc + a 2 bc

6.                                    – распределительный закон

Свойства 5 и 6 выполняются для смешанного произведения, т. к. смешанное произведение является векторно-скалярным, а сочетательное и распределительное свойства справедливы и для скалярного, и для векторного произведений.