Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов

Теорема. Для того, чтобы два вектора ā и ` b были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы один из них мог быть представлен в виде

произведения некоторого числа на другой вектор, т. е. b = l a (или a = l b).

В этой теореме мы должны доказать два признака; один из них является

необходимым для данного утверждения, а другой достаточным.

Такая формулировка теоремы встречается нам впервые. Уточним, в каком случае признак называется необходимым для данного утверждения, а в каком

- достаточным.

Пусть имеется некоторое утверждение и какой-либо признак для проверки справедливости этого утверждения.

Если из справедливости данного утверждения следует выполнение признака, то такой признак называется необходимым для данного утверждения.

Если же наоборот – из выполнения признака следует справедливость данного утверждения, то такой признак называется достаточным для данного утверждения.

Признак может быть только необходимым, или только достаточным, или одновременно и достаточным, и необходимым.

► Доказательство теоремы разобьем на две части.

i) Докажем необходимость. Если один из векторов, например, ` b =`0, то

` b = 0· ā = l ā (при l = 0) и теорема доказана).

Пусть векторы ā и ` b коллинеарны, ā ¹ 0 и` b ¹ 0. Докажем, что существует действительное число l такое, что ` b = l ā.

Рассмотрим орты векторов ā и ` b:

a ⁰ =

1 a, b ⁰ =

1 b.

 

 

а) Если векторы ā и` b сонаправлены, то ā <sup>0</sup> =` b ⁰, т. е. b

 

b   a

=  или b = a.

 

Обозначив

=l, получим ` b = l ā. Заметим, что в этом случае l > 0.

 

б) Если векторы ā и` b направлены противоположно, то ā <sup>0</sup> = –` b ⁰, т. е.

 

b   =- или b =-

. Обозначив -

= l, получим ` b = l ā.

 

Заметим, что в этом случае l < 0. Таким образом, если векторы ā и` b коллинеарны, то` b = l ā.

ii) Докажем достаточность. Пусть даны два вектора ā и` b, и известно, что существует число l такое, что` b = l ā. Надо доказать, что ā ||` b.

Доказательство этого утверждения немедленно следует из определения умножения вектора на число. ◄

 

 

1.4.4. Разложение вектора на плоскости по двум неколлинеарным векторам

Напомним, что любые два вектора можно считать лежащими в одной плоскости.

Разложить вектор ` с на плоскости по двум неколлинеарным векторам ā и ` b – значит представить вектор ` с в виде cуммы c = xa + yb, где x и y – некоторые числа.

Теорема. Если ā и` b два неколлинеарных вектора, лежащих в одной плоскости, то любой вектор` с, лежащий с векторами ā и` b и в одной плоскости, можно разложить по векторам ā и` b, т. е. представить в виде   c = xa + yb, где x, y – некоторые числа, и такое разложение единственно.

 

 

► Доказательство.

Рис. 1.4.12

1) Докажем возможность (существование) такого разложения.

Приведем векторы ā и ` b к общему началу O. Рассмотрим произвольный вектор` с, лежащий в этой плоскости. Приложим его к точке O. (рис. 1.4.12).

Построим параллелограмм OABC, стороны которого параллельны векторам ā и` b, а вектор` с является диагональю этого параллелограмма.

По правилу параллелограмма:     c = OA + OB.     Вектор   , тогда по необходимому условию коллинеарности: OA = xa  . Вектор                  , тогда по необходимому условию коллинеарности: OB = y b.

Получаем: c = xa + yb, где x, y – некоторые числа, и возможность разложения вектора ` c по векторам ā и` b доказана.

2) Докажем единственность разложения. Покажем, что числа x и y для каждого вектора` с определяются единственным образом.

Доказательство проводится методом «от противного».

Допустим, что существуют числа x ₁ и y ₁ такие, что

c = x 1 a + y 1 b, причем

справедливо хотя бы одно из неравенств x ¹ x ₁, y ¹ y ₁. Тогда

xa + yb = x 1 a + y 1 b или (x - x 1 )a = (y 1 - y)b.

Предположим, что x ¹ x ₁, тогда

a = y 1 -  y b.

x - x 1

Если обозначить

y 1 -  y = l, то a =l  b, значит векторы ā и ` b коллинеарны

x - x 1

в силу достаточного условия коллинеарности векторов, что противоречит условию теоремы (ā и` b не коллинеарны).

Значит предположение о существовании другого разложения вектора` с по векторам ā и` b неверно, следовательно, такое разложение единственно. ◄.

В связи с этой теоремой дадим следующее определение.

Определение. Базисом на плоскости называются любые два неколлинеарных вектора.

Используя понятие базиса, доказанную теорему можно сформулировать следующим образом.

В доказанной выше теореме базисными векторами являются векторы ā

и` b.

 

 

1.4.5. Разложение вектора в пространстве по трем некомпланарным векторам

Пусть ā,` b,` с – три некомпланарных вектора.

Разложить вектор ` d по векторам ā,` b и` с – значит представить

вектор` d в виде cуммы d = xa + yb + zc, где x, y и z – некоторые числа.

Теорема. Любой вектор` d в пространстве можно разложить по трем некомпланарным векторам ā,` b и` с, и такое разложение единственно.

► Доказательство этой теоремы аналогично доказательству предыдущей теоремы, только в данном случае нужно построить параллелепипед, ребра которого параллельны векторам ā,` b и` с, а вектор` d является диагональю этого параллелепипеда.

 

 

Рис. 1.4.13

                                                                                                                                                     

d = OD + OC, OD = OA + OB,, т.е. d = OA + OB + OÑ,

необходимому условию коллинеарности: OA = xa,         , тогда по необходимому условию коллинеарности: OB = yb, тогда по необходимому условию коллинеарности: OC = zc.

, тогда по

 

 

,

Таким образом  получается  разложение: d

некоторые числа (рис. 1.4.13).

= xa + yb + zc, где x, y и z –

Единственность этого разложения доказывается методом от противного, аналогично тому, как это сделано в предыдущей теореме. Предлагается сделать это самостоятельно. ◄

Определение. Базисом в пространстве называются любые три некомпланарных вектора.

Доказанную теорему можно сформулировать следующим образом.

В приведенной теореме базисными векторами являются векторы ā,` b и` с.

Замечание. Базис на плоскости и в пространстве можно выбрать бесконечным числом способов.

 

 

Раздел 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛЕКЦИЯ 2

ТЕМА 1.5. Векторная алгебра. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов; их определения, основные свойства, способы вычисления и применения к решению геометрических и физических задач (задача о работе силы, о моменте силы).

1.5.1. Проекция вектора на ось.

1.5.2. Векторы в прямоугольной системе координат.

1.5.3. Скалярное произведение двух векторов, определение, свойства, физический смысл скалярного произведения: задача о работе силы. Вычисление скалярного произведения в прямоугольной системе координат. Направляющие косинусы вектора.

1.5.4. Векторное произведение векторов. Тройки векторов. Векторное произведение: определение, свойства, физический

смысл: задача о моменте силы. Вычисление векторного произведение в прямоугольной системе координат.

1.5.5 Смешанное (векторно-скалярное) произведение трех векторов: определение, свойства. Вычисления смешанного произведения в прямоугольной системе координат.

 

 

1.5.1. Проекция вектора на ось.

Задана некоторая ось l (прямая с выбранным на ней направлением, началом отсчета и масштабом измерения) и вектор AB.

 

Рис.1.5.1

Рис. 1.5.2

 

На рис.1.5.1, 1.5.2 вектор ` l ⁰ – орт оси l, т.е. единичный вектор, сонаправленный с осью.

Из точек A и B опускаются перпендикуляры на ось l, через точку A ₁ обозначим проекцию точки A (начала вектора), через B – проекцию точки B (конца вектора AB).

Определение. Вектор

A 1 B 1, идущий из проекции начала в проекцию конца

вектора AB называется компонентой (или составляющей) вектора AB по оси l.

Обозначение:

A 1 B 1 = сост l AB.

Определение. Проекцией вектора на ось называется число, равное модулю компоненты этого вектора, взятое со знаком плюс, если направление компоненты совпадает с направлением оси, и со знаком минус, если направление компоненты противоположно направлению оси.

Обозначается проекция вектора AB на ось l:

 

пр l AB =±.

На рис. 1:

 

пр l AB =

,        на рис. 2:

 

пр l AB =-.

Если

 

                  

­­ l ⁰

(направление компоненты совпадает с направлением оси),

то A 1 B 1  =   × l ⁰ = пр l AB × l ⁰ (рис. 1.5.1).

Если

 

                    

A 1 B 1 ­¯ l ⁰

(направление компоненты противоположно направлению

оси), то

 

A 1 B 1 = -

 

× l ⁰ = пр l AB × l ⁰

(рис. 1.5.2).

Вывод: компонента вектора по оси всегда равна произведению орта оси на проекцию вектора эту ось:

 

Определение. Углом наклона вектора к оси называется наименьший из углов, которые образует вектор с положительным направлением оси (рис.3).

Рис. 1.5.3

На приведенных рисунках угол наклона вектора к оси обозначен буквой j

(очевидно, что 0 ≤ j ≤ p).

Свойства проекций

► Доказательство. Рассмотрим отдельно случаи: а) угол наклона вектора к оси острый, б) угол наклона вектора к оси тупой, в) вектор перпендикулярен к оси.

 

а) Пусть 0 £ j < p

2

Рис. 1.5.4

(рис.4), тогда из D ABB ₁:

 

пр l  AB =   =   ×cos j.

б) Пусть

Рис. 1.5.5

p   < j £ p (рис 5), тогда из D ABB ₁:

2

 

пр l AB = -

= -(

× cos(p - j)), т.е.

пр l  AB = -(

× (-cos j)) =

× cos j

в) Пусть

j = p

2

 

(рис.6), тогда

Рис. 1.5.6

пр l AB = 0.◄

Окончательно для любого случая

 

пр l AB =

AB 1

=

AB

× cos j

 

Замечание. Это свойство с помощью обычной индукции легко распространить на сумму любого конечного числа векторов.

 

 

 

1.5.2. Векторы в прямоугольной системе координат Прямоугольные координаты вектора

Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат (ПДСК), т.е. три взаимно перпендикулярных оси: ось OX – ось абсцисс, ось OY – ось ординат, ось OZ – ось аппликат. На каждой из осей возьмем единичный вектор (орт оси): вектор i – по оси OX; вектор j – по оси OY; вектор k – по оси OZ. Направление осей выбрано согласно рис. 1.5.7.

Рис. 1.5.7

Векторы i, j,k – некомпланарны, поэтому любой вектор ā можно

разложить по векторам

i, j, k, то есть представить в виде a = xi

+ yj + zk, где

x, y, z – некоторые числа.

Эти числа называются прямоугольными координатами вектора ā.

Геометрический смысл прямоугольных координат вектора.

Вектор a = OA + OB + OC (см. рис.10). В силу единственности разложения

вектора по базису

i, j, k:

OA = x i; OB = y j; OC = zk.

 

Векторы OA, OB, OC являются компонентами вектора ā по

координатным осям OX, OY, OZ соответственно, а i, j,k – орты координатных осей, значит числа x, y, z равны проекциям вектора ā на координатные оси OX, OY, OZ.

Теорема. Прямоугольные координаты любого вектора равны проекциями этого вектора на координатные оси:

Замечание. Доказанная теорема приводит к простому удобному следствию: всякий вектор можно записать и в виде разложения по компонентам a = xi + yj + zk, и – короче – в виде строки его координат ā = (x, y, z).

Замечание. В частности, орты координатных осей имеют координаты:

 

i = (1,0,0),

 

j = (0,1,0),

k = (0,0,1).