Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Известно, что через две данные точки можно провести единственную прямую.

Рис. 1.6.17

Пусть прямая проходит через точки M ₁(x ₁, y ₁) и M ₂(x ₂, y ₂). За

направляющий вектор ` s данной прямой можно взять вектор

 

         

s = M 1 M 2 = (x 2 - x 1, y 2 - y 1).

M 1 M 2.

Уравнение прямой по точке M ₁(x ₁, y ₁) и направляющему вектору s имеет вид:

 

 

x - x 1 =  y - y 1 x 2 - x 1        y 2 - y 1

(1.6.7)

 

 

Получили уравнение прямой по двум точкам.

Если x ₁ = x ₂, то прямая параллельна оси Oy. Ее уравнение имеет вид: x =

x ₁.

Если y ₁ = y ₂, то прямая параллельна оси Ox. Ее уравнение: y = y ₁.

 

 

Пример. Составить уравнение прямой АВ, если А (2, −1); В (1, 3).

Решение:                Применяем               формулу               (1.3.7):

Ответ: 4 x + y – 7 = 0.

 

 

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точки М (4, – 2) и

N (4, 5).

Решение: Так как x ₁ = x ₂, то по формуле x = x ₁ (см. выше) уравнение прямой имеет вид: x = 4. Прямая параллельна оси Oy.

Пример. Дан треугольник АВС, у которого А (1, 2), В (4, 3), С (1, 3). Составить уравнения его сторон.

Рис. 1.6.18

Решение.

1)

Найдем уравнение стороны АВ. По формуле(1.3.7)имеем:

2) Сторона ВС находится по формуле y = y ₁, так как y_B = y_C, то y =3.

3) Уравнение стороны АС выпишем по формуле x = x ₁, так как x_A = x_C, то x = 1.

Ответ: AB: x – 3 y + 5 = 0, BC: y = 3; AC: x = 1.

 

 

Пример. Даны вершины треугольника   АВС А (–1, 3), В (3, –2), С (5, 3).

Составить уравнение медианы, проведенной из вершины В.

Решение: Пусть ВМ – медиана, тогда точка М является серединой отрезка

АС. По формулам (1.2.2) имеем:

Уравнение медианы ВМ получим по формуле

 

x - 3 =

y - (-2) Þ  x - 3 =

y + 2 Þ 4(x - 3) = -(y + 2) Þ 4x + y -14 = 0(1.6.7)

2 - 3 2 - (-2)     -1     4

 

 

Ответ: BM: 5 x + y – 13 = 0.

Уравнение прямой в отрезках

Если прямая отсекает на осях отрезки а и b, не равные нулю, то ее уравнение имеет вид:

x + y = 1 a b

(1.6.8 )

Такое уравнение называется уравнением прямой в отрезках. Рассмотрим

это уравнение. Пусть x = 0, тогда

y = 1,

b

y = b.

Пусть y = 0, тогда

x = 1,

a

x = a.

Прямая проходит через точки А (а, 0) и B (0, b) (рис. 1.6.19 – рис.1.6.21).

Рис. 1.6.19	Рис. 1.6.20	Рис. 1.6.21

 

 

Пример. Записать  уравнение  прямой 3 x – 2 y + 12 = 0 в отрезках и построить эту прямую.

Решение: 3 x – 2 y = –12. Разделим обе части этого уравнения на –12.

Получим:

Следовательно, a = –4, b = 6.

Построим эту прямую. Для этого отложим на оси Ox a = –4, на оси Oy b = 6 и соединим полученные точки.

Рис. 1.6.22

Расстояние от точки до прямой

Пусть прямая задана уравнением Ax + By + C = 0. Найдем расстояние от точки M ₀(x ₀, y ₀) до этой прямой.

Рис. 1.6.23

Под расстоянием от точки до прямой понимают длину отрезка M ₀ M,

где М – основание перпендикуляра, опущенного из точки M ₀ на данную прямую. Расстояние d = | M ₀ M | находим по формуле:

 

d =  | Ax 0 + By 0 + C | A ^2 + B ^2

(1.6.9)

 

Пример. Найти расстояние от точки M ₀(2,–1) до прямой, заданной уравнением 3 x + 4 y –22 = 0.

Решение: По формуле (1.6.9) получим:

d =  |3 × 2 + 4 × (-1) - 22 | = |6 - 4 - 22 | = 20 = 4.

5         5

Ответ: d = 4.

 

 

1.5.2. Взаимное расположение двух прямых, угол между ними.

Рис. 1.6.24