Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми переменными величинами

Теорема. Величина, обратная бесконечно большой, является бесконечно малой; и наоборот, величина, обратная бесконечно малой, является бесконечно большой.

Докажем эту теорему. Пусть y является бесконечно большой, это значит,

что какое бы

e > 0

мы не взяли (сколь угодно малое), начиная с некоторого

момента  в  изменении y будет выполняться неравенство

y > 1

e

(здесь в

качестве M взято

1), из которого следует, что

e

1 < e. Рассмотрим

переменную величину

a = 1

y

(обратную к бесконечно большой y);

a   =   =

1, значит для любого

e > 0, начиная с некоторого момента будет

 

выполняться неравенство a

является бесконечно малой.

< e, что, в свою очередь, означает, что

a = 1

y

Точно также можно доказать второе утверждение теоремы. Пусть   a     -

бесконечно малая, тогда какое бы мы не взяли

M > 0

(сколь угодно большое),

начиная с некоторого момента в изменении a будет выполняться

неравенство

a < 1

M

(здесь

1 взято в качестве e  ), откуда следует, что

M

1 > M. Рассмотрим переменную величину

y = 1

a

(обратную к бесконечно

малой   a). y =

= 1, значит для любого

M > 0, начиная с некоторого

 

момента, выполняться неравенство большая.

y > M, что означает, что y - бесконечно

Например,

y = x 2

является бесконечно малой при

x ® 0, а

y = 1

x 2

является

бесконечно большой при

x ® 0. Величина

y = x 2

является бесконечно

большой при

x ® ¥ , а

y = 1

x 2

является бесконечно малой при

x ® ¥ .

 

 

 

ЛЕКЦИЯ 6

Два признака существования пределов.

Иногда нас не интересует само значение предела переменной величины, но нам важно в принципе знать существует предел этой переменной или нет. Удобно иметь простые признаки, которые позволяют по некоторым элементам поведения переменной величины устанавливать имеет ли она предел (не вычисляя самого предела).

Наиболее употребительны следующие два признака:

Теорема о промежуточной переменной.

Если значения переменной величины заключены между значениями двух переменных величин, стремящихся к одному и тому же пределу, то данная переменная величина стремится к тому же самому пределу.

Итак, заданы три переменные величины x, y, z, причем значения z лежат

между значениями x и y: пределу a (lim x = lim y = a рис. 25, 26.

x £ z £ y; переменные x    и y стремятся к одному

). Две из возможных ситуаций представлены на

 

                                                          

 

Рис. 25

Рис. 26

 

Ясно, что поскольку x ®  a, y ®  a, и z лежит между x и y,то z ®  a.

Мы не будем приводить строгое доказательство этого признака, хотя это нетрудно сделать, используя определение предела.