Теорема. Второй достаточный признак экстремума.

Рассмотрим  функцию y = f (x), определенную в некоторой окрестности

точки

x 0.

Пусть функция

f (x)

имеет в точке

x 0 вторую производную. Если

f ¢(x 0) = 0,

f ¢  (x 0 ) < 0, то

x 0 -

точка максимума функции. Если

f ¢(x 0) = 0,

f ¢  (x 0) > 0, то

x 0 -

точка минимума функции

f (x).

 

Заметим, что

f ¢ (x 0) = 0 может быть как в точках, где экстремума нет, так и

в точках экстремума. Например, для функции y = x ³

в точке

x = 0

экстремума

нет, хотя в этой точке

y ¢ = 3 x ² = 0, y ¢   = 6 x = 0;

а для функции

y = x ⁴

точка

x = 0 -

точка минимума, но также

y ¢ = 4 x ³ = 0, y ¢   = 12 x ² = 0.

В этом случае

исследование нужно вести с помощью первого достаточного признака экстремума.

 

Исследуем вторым способом на экстремум функцию y = x ³ - 3 x + 2. Первая производная

y'=3x² – 3=3(x² – 1)=3(x – 1)(x + 1).

Находим вторую производную

y ¢   = 6 x.

Критическими точками являются

x 1 = -1, x 2 = 1.Так как

f ¢(-1) = 0, f ¢ (-1) = -6 < 0, то

x 1 = -1 -

точка максимума

функции. Так как

f ¢ ( 1 ) = 0, f ¢ ( 1 ) = 6 > 0, то

x 2 = 1 - точка минимума функции.

ЛЕКЦИЯ 11 - 16

ТЕМА 2. 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ

ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. Выпуклость, точки перегиба кривой. Асимптоты. Общая схема исследования функции одной переменной.

2.7.1. Выпуклость графика функции. Достаточный признак выпуклости.

2.7.2. Точки перегиба кривой. Необходимый признак точки перегиба. Достаточный признак точки перегиба.

2.7.3. Асимптоты графика функции.

2.7.4. Общая схема исследования функции одной переменной. Построение графика.

 

 

2.7.1. Выпуклость графика функции. Достаточный признак выпуклости.

Определение. График дифференцируемой функции

y = f(x) называется выпуклым вверх на интервале (а, b), если все точки графика лежат ниже любой касательной к графику функции на этом на интервале.

Определение. График дифференцируемой функции y = f(x) называется выпуклым вниз на интервале (а, b), если все точки графика лежат выше любой касательной к графику функции на этом интервале.

 

Теорема. Достаточный признак выпуклости.

Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f(x) отрицательна, т.е. f ''(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый вверх.

Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f(x) положительна, т.е. f ''(x)>0, то график функции на этом интервале выпуклый вниз.

 

Пример. Доказать, что график функции y = x arctgx везде выпуклый вниз.

Решение. Находим первую и вторую производные:

y' = (xarctgx)'

= (x) ' arñtgx + x(arñtgx)' =  1 ×  arctg x

+ x;

1 + x ²

æ           x ¢

 1 x' (1 + x ²) - x (1 + x ²) '

 1 1 + x ² - 2 x ²

ø

y" = ç  arctgõ +     ö =     +                             =     +              =

è         1 + x ² ÷

1 + x ²

(1 + x ²)²

1 + x ²

(1 + x ²)²

= 1 + x ² + 1 - x ²

(1 + x ²)²

= 2

(1 + x ²)²

> 0.

Следовательно, по достаточному признаку график функции выпуклый вниз

при x Î(-¥,+¥).

 

 

2.7.2. Точки перегиба кривой Необходимый признак точки перегиба.